“振動(dòng)型彈簧類復(fù)雜問(wèn)題”的特點(diǎn)及化解策略

摘要：在對(duì)振動(dòng)型彈簧類復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行界定的基礎(chǔ)上，揭示了這類綜合性問(wèn)題的本質(zhì)特征和導(dǎo)致其復(fù)雜的根本原因，提出了以畫振子關(guān)鍵位置示意圖為核心的化解此類難題的有效策略，并通過(guò)兩個(gè)案例的分析，說(shuō)明了解題策略的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：振動(dòng)型彈簧類復(fù)雜的問(wèn)題；彈簧振子；高考?jí)狠S題；解題策略；位置示意圖

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148(2007)12(S)-0024-3

1 振動(dòng)型彈簧類復(fù)雜問(wèn)題的界定和特點(diǎn)

所謂振動(dòng)型彈簧類復(fù)雜問(wèn)題，是指以輕彈簧為載體連接若干物體，以彈簧的一端或與之相連的某一物體為固定端，給系統(tǒng)輸入一定的能量后，研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)或振動(dòng)規(guī)律的一類復(fù)雜問(wèn)題。此類問(wèn)題可以綜合考查學(xué)生對(duì)力、物體的平衡、牛頓定律、動(dòng)量守恒以及能的轉(zhuǎn)化與守恒等物理學(xué)主干知識(shí)的理解和掌握情況，更重要的是能考查學(xué)生的理解能力、分析推理能力、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力，因而經(jīng)常成為高考命題的重點(diǎn)，而且大都設(shè)置為壓軸題。例如1997年全國(guó)卷第25題、2004年廣東綜合卷第17題、2005年全國(guó)理綜（晉豫冀皖閩浙等?。┑?4題等。因此，研究這類問(wèn)題的本質(zhì)特征，尋找一套較為有效的解決方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、深刻體會(huì)物理學(xué)的研究方法具有重要的價(jià)值。

振動(dòng)型彈簧類復(fù)雜問(wèn)題的特點(diǎn)是命題起點(diǎn)是基于彈簧振子模型。通常通過(guò)設(shè)置碰撞作用、破壞平衡狀態(tài)、隱含臨界狀態(tài)、改變初始條件等方法將簡(jiǎn)潔的彈簧振子模型演化為外延拓展、內(nèi)涵豐富的復(fù)雜問(wèn)題。分析其復(fù)雜性成因，發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題的難度系數(shù)是由彈簧的兩大動(dòng)態(tài)特點(diǎn)所決定的：一是從力的角度看，彈簧發(fā)生形變產(chǎn)生彈力，彈簧的彈力是一種由形變而決定大小和方向的變力；二是從能的角度看，彈簧發(fā)生形變便具有了彈性勢(shì)能，而伴隨著形變量的變化，彈性勢(shì)能發(fā)生變化，從而實(shí)現(xiàn)能量的存儲(chǔ)與轉(zhuǎn)化。所以，以彈簧為核心的系統(tǒng)因力和能的雙重變化，導(dǎo)致了這類問(wèn)題具有極強(qiáng)的綜合性和較大的難度。

2 振動(dòng)型彈簧類復(fù)雜問(wèn)題的化解策略

如何化解難點(diǎn)，解決這類難題？通過(guò)對(duì)大量的振動(dòng)型彈簧類壓軸問(wèn)題的研究，我們總結(jié)出基于彈簧振子解決問(wèn)題的“三步曲”策略，經(jīng)教學(xué)實(shí)踐證明，是一種有效的解題方法。

2.1 明確研究對(duì)象，建構(gòu)彈簧振子模型

振動(dòng)型彈簧類復(fù)雜問(wèn)題源于彈簧振子模型，因此，在審題時(shí)，要能合理選擇研究對(duì)象，分析導(dǎo)致振動(dòng)的原因，看穿整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)本性，從宏觀上抽象出彈簧振子模型。

2.2 勾畫位置示意，標(biāo)明關(guān)鍵位置和狀態(tài)，確定力、位移、加速度等狀態(tài)量

在明確研究對(duì)象后，分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，畫出特殊或關(guān)鍵的位置示意圖，這是解決問(wèn)題最重要的步驟。必須標(biāo)出的特殊位置主要指物體的初始位置、振子的平衡位置以及振子的最大位移位置，以此確定振動(dòng)物體在這些位置的力、位移、加速度等重要狀態(tài)量，同時(shí)，從示意圖上尋找彈簧的形變量與物體的位移之間的幾何關(guān)系，直觀地選擇物理運(yùn)動(dòng)過(guò)程，從而為列方程解題作好鋪墊。

2.3 選擇狀態(tài)過(guò)程，運(yùn)用牛頓定律、能量轉(zhuǎn)化和守恒定律列式求解

一旦系統(tǒng)起振，系統(tǒng)的總能量就不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化和分配。若無(wú)電場(chǎng)力、摩擦力作用，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。因此，科學(xué)合理地選擇研究過(guò)程或狀態(tài)，依據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律或牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程便成為解題的關(guān)鍵步驟。這一步驟需要準(zhǔn)確把握始、末狀態(tài)所決定的過(guò)程和對(duì)應(yīng)的規(guī)律。

3 兩個(gè)典型案例分析

案例1 如圖1所示，一輕質(zhì)彈簧下端固定在水平地面上，上端與物體A連接，物體A又與一跨過(guò)定滑輪的不可伸長(zhǎng)的輕繩一端相連，繩另一端懸掛著物體B，B的下面又掛著物體C，且A、B、C均處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)剪斷B和C之間的繩子，則A和B將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。已知物體A質(zhì)量為3m，B和C質(zhì)量均為2m，A和B振動(dòng)的振幅為d。試求： 

（1）物體A振動(dòng)的最大速度。（2）振動(dòng)過(guò)程中，繩對(duì)物體B的最大拉力和最小拉力。

解析 （1）明確研究對(duì)象。

本題振子由物體A和B組成，起振方式是讓物體C脫離系統(tǒng)，破壞了A和B系統(tǒng)的平衡，導(dǎo)致振子受力不平衡，因此，A和B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

（2）勾畫位置示意。

A、B的振動(dòng)狀態(tài)完全一致，畫出它們的平衡位置、最低位置和最高位置如圖2所示，同時(shí)對(duì)物體B，還標(biāo)出其在兩個(gè)極限位置的加速度的方向。

（3）選擇狀態(tài)過(guò)程

當(dāng)A運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)，A具有振動(dòng)的最大速度，因此，要求A的最大速度，應(yīng)選擇振子從起振到平衡位置這一過(guò)程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律來(lái)研究，其中的關(guān)鍵是確定始、末狀態(tài)的彈性勢(shì)能的關(guān)系。通過(guò)分析這兩個(gè)位置振子的受力情況，便可以確定彈簧的形變量是相等的。而要求繩對(duì)物體B的最大拉力和最小拉力，只需研究B在最低和最高兩個(gè)位置的狀態(tài)，應(yīng)用牛頓第二定律即可求解。

（1）假設(shè)繩剪斷前，彈簧伸長(zhǎng)量為x1，剪斷后，在振動(dòng)的平衡位置，彈簧壓縮量為x2，所以kx1=mg，kx2=mg，即x1=x2，兩個(gè)狀態(tài)的彈性勢(shì)能相等（振動(dòng)的振幅d=（x1+x2）。

由機(jī)械能守恒定律，有：

3mgd-2mgd=12×5mv2，

解得v=25gd。

（2）B振動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)拉力最大，設(shè)為F1；振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)拉力最小，設(shè)為F2；

B在振動(dòng)過(guò)程的最低點(diǎn)：

F1-2mg=2ma，3mg+kx1-F1=3ma，

解得：F1=2.8mg。

B在振動(dòng)過(guò)程的最高點(diǎn)：

2mg-F2=2ma，解得：F2=1.2mg。

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)算量雖不大，但由于A、B作為一個(gè)整體在豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且它們的振動(dòng)始終反相，所以，不論從問(wèn)題情景的設(shè)置還是從問(wèn)題內(nèi)涵的份量上來(lái)看，本題具有一定的難度。但當(dāng)畫出振子的三個(gè)關(guān)鍵位置的示意圖，則彈簧的形變量、振子運(yùn)動(dòng)的位移、振子的受力狀態(tài)等物理量將會(huì)清晰直觀地展現(xiàn)出來(lái)，這樣求解就方便多了。

案例2 如圖3甲所示，小物塊m1與m2通過(guò)一輕質(zhì)彈簧相連，靜止于固定的光滑水平長(zhǎng)木板上，物塊m1與固定在長(zhǎng)木板上的豎直擋板接觸?，F(xiàn)將小物塊m3正對(duì)物塊m1與m2的方向以初速度v0運(yùn)動(dòng)，與物塊m2發(fā)生無(wú)機(jī)械能損失的碰撞。已知物塊m1與m2的質(zhì)量均為m，物塊m3的質(zhì)量為m/3，彈簧的勁度系數(shù)為k，且下述過(guò)程中彈簧形變始終在彈性限度內(nèi)。

（1）試求碰撞后物塊m3的速度和物塊m1的最大速度。

（2）若只將長(zhǎng)木板右端抬高，變成傾角為θ的固定斜面，如圖3乙所示，物塊m1、m2處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)讓物塊m3從長(zhǎng)木板上的A點(diǎn)靜止釋放，與物塊m2相碰后粘合在一起，為使物塊m2、m3向上反彈到最大高度時(shí)，物塊m1對(duì)擋板的壓力恰為零，則A點(diǎn)與碰撞前物塊m3的距離為多大？整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧最多比原來(lái)增加多少?gòu)椥詣?shì)能？

解析 在此著重分析第（2）問(wèn)。

（1）明確研究對(duì)象。

在（2）問(wèn)中振子由物塊m2和m3整體組成，起振方式是讓物塊m2和m3發(fā)生非彈性碰撞，使振子在非平衡位置獲得一定的動(dòng)能，從而引起物塊m2和m3做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

（2）勾畫位置示意。

根據(jù)本問(wèn)情景，畫出反映振動(dòng)過(guò)程中幾個(gè)關(guān)鍵位置的狀態(tài)示意圖如圖4所示。

物塊m3與m2在碰撞前，彈簧的壓縮量為x1= m2gsinθ/k，此位置記為碰撞位置A′；m2和m3整體的平衡位置在O處，此處彈簧的壓縮量為x3=（m2+ m3）gsinθ/k； m2和m3反彈到最大高度B時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量為x2=m1gsinθ/k=x1；另外，當(dāng)彈簧的彈性勢(shì)能最大時(shí)，m2和m3在最低位置C，此位置與平衡位置O相距x3+ x2，與碰撞位置A′相距x3+x2+x3-x1= 2x3，與最高位置B相距2（x3+ x2）。

（3）選擇狀態(tài)過(guò)程。

要求碰前m3與m2的距離，關(guān)鍵需求出碰后m3與m2整體的速度，由于碰撞位置與最高位置彈簧的彈性勢(shì)能相等，因此，可以選擇從碰撞后瞬間至最高位置這一過(guò)程，列系統(tǒng)機(jī)械能守恒方程加以解決。而要求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧彈性勢(shì)能的最大增加量，可以從位置示意圖中靈活選擇相關(guān)過(guò)程列式求解。例如，最直接的是選擇從碰撞位置A′到最低位置C這一過(guò)程，彈性勢(shì)能的增加量等于系統(tǒng)重力勢(shì)能的減小量與動(dòng)能的減小量之和；也可以選擇從最高位置B到最低位置C這一過(guò)程，所求彈性勢(shì)能的增加量等于系統(tǒng)重力勢(shì)能的減小量。

物塊m1離開(kāi)擋板時(shí)，物塊m2的速度大小為12v0，方向向右。當(dāng)物塊m1的速度最大時(shí)，彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)。設(shè)物塊m1的最大速度為vm，此時(shí)物塊m2的速度為v3，物塊m1、m2與彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量和動(dòng)能守恒，有

（3）彈簧壓縮最大時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧增加的彈性勢(shì)能最大，此時(shí)物塊m2的速度為零。另外，還可根據(jù)示意圖，應(yīng)用多種方法進(jìn)行求解：

點(diǎn)評(píng) 本題檢測(cè)后發(fā)現(xiàn)得分率很低，得滿分的學(xué)生可謂鳳毛麟角，說(shuō)明試題的綜合性很強(qiáng)，難度很大。究其原因，大多數(shù)學(xué)生正是由于對(duì)物理狀態(tài)認(rèn)識(shí)模糊、對(duì)物理過(guò)程把握不清導(dǎo)致錯(cuò)解。而當(dāng)我們?cè)谠u(píng)講時(shí)介紹了畫關(guān)鍵位置示意圖的解題策略后，學(xué)生普遍反映對(duì)此題的過(guò)程和特殊狀態(tài)豁然開(kāi)朗，題目也似乎變得十分簡(jiǎn)單了。

(欄目編輯黃懋恩)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。