巧用等軸雙曲線性質(zhì)解競賽題

玻意耳定律指出：溫度不變時(shí)，一定質(zhì)量的氣體的壓強(qiáng)跟它的體積成反比。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為pV=恒量。氣體的等溫變化也可用圖線來表示。用直角坐標(biāo)系的橫、縱軸分別代表氣體的體積V、壓強(qiáng)p，氣體在溫度不變時(shí)，壓強(qiáng)p與體積V的關(guān)系在p-V圖上是一條關(guān)于直線p=V對稱的等軸雙曲線，如圖1所示。而且氣體溫度越高對應(yīng)的雙曲線離坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)。

利用平面解析幾何方法和等軸雙曲線知識解決氣體性質(zhì)中溫度極值問題相當(dāng)方便。

例1 （第5屆全國競賽）已知每摩爾單原子理想氣體溫度升高1K時(shí)，內(nèi)能增加1.5R（R為普適氣體常量）?，F(xiàn)有（2.008.31）mol的單原子理想氣體，經(jīng)歷ABCDA循環(huán)過程，在p-V圖上是一個(gè)圓，如圖2。圖中橫、縱坐標(biāo)分別表示氣體的體積和壓強(qiáng)。（1）試分析該循環(huán)過程中哪一點(diǎn)（H）氣體溫度最高，并求出該溫度值。（2）氣體從狀態(tài)C到狀態(tài)D過程中，內(nèi)能增量，外界對氣體做功，氣體吸熱各為多少？

析與解 在p-V圖上理想氣體等溫變化過程是一等軸雙曲線，它關(guān)于直線p=V對稱，溫度越高的雙曲線與該直線的交點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)。ABCDA循環(huán)過程中在p-V圖上的各點(diǎn)都可看成是多個(gè)等溫線上的點(diǎn)，只有與圓相外切的那只雙曲線才是對應(yīng)溫度最高的，且切點(diǎn)與圓心的連線必在p=V直線上，即最高溫點(diǎn)H必在直線P=V與圓的遠(yuǎn)交點(diǎn)上。

氣體從狀態(tài)C到狀態(tài)D過程中，是體積減小的壓縮過程，外界對氣體做功在數(shù)值上等于p-V圖上CD圓弧下的面積，由熱力學(xué)第一定律即可求出此過程中氣體的吸熱問題了。

例2 （第15屆全國競賽）1mol理想氣體緩慢地經(jīng)歷了一個(gè)循環(huán)過程，在p-V圖上該過程是一個(gè)橢圓，如圖3。已知此氣體處在與橢圓中心O點(diǎn)所對應(yīng)的狀態(tài)時(shí)，其溫度為T0=300K。求在整個(gè)循環(huán)過程中氣體的最高溫度T1和最低溫度T2各是多少？

析與解 由于氣體質(zhì)量一定，欲求T的最大值最小值，即在橢圓約束下求pV的極值。現(xiàn)已面市的各種資料所給參考解答無外乎參數(shù)方程法、橢圓雙曲線（等溫線）相切法、將橢圓坐標(biāo)變換成圓法三種方法。但這三法中有的數(shù)學(xué)要求過高（現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中已取消），有的在賽場上臨場發(fā)揮時(shí)難以想到，即使想到了，數(shù)學(xué)運(yùn)算也較煩瑣。而若采用最高溫、最低溫所在的

等溫線（等軸雙曲線）與橢圓相切，且切點(diǎn)在直線p=p0V0V上，也就是說在橢圓與直線P=P0V0V的交點(diǎn)，可極方便地求解。（即使橢圓不在此圖處，通過調(diào)整坐標(biāo)軸標(biāo)度比例也可實(shí)現(xiàn)）。

由圖可寫出此橢圓的方程為

至此，可利用上述方法，得出下面問題的答案了。

0.1mol的理想氣體經(jīng)歷圖4示的循環(huán)過程，由初態(tài)A經(jīng)B到C，最后又回到A。此過程中最高、最低溫度是多少？

(欄目編輯陳 潔)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。