關(guān)于地球內(nèi)部引力場(chǎng)強(qiáng)度的討論

摘要：本文應(yīng)用萬有引力公式和高斯定理兩種方法分析了在考慮到地球密度非均勻分布情況下地球內(nèi)部引力場(chǎng)強(qiáng)度隨到地心距離變化的g-r圖像。此外，筆者還分析了五十名大三學(xué)生解決這個(gè)問題時(shí)的思考過程，發(fā)現(xiàn)了他們?cè)诮鉀Q此問題時(shí)所犯的一些錯(cuò)誤，并且提出了如何應(yīng)用此問題糾正學(xué)生對(duì)高斯定理理解的錯(cuò)誤。

關(guān)鍵詞：引力場(chǎng)強(qiáng)度；高斯定理；萬有引力公式

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2007)11(S)-0009-4

1 問題的提出

筆者最近對(duì)某高師院校物理系大三學(xué)生進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查。題目是“你認(rèn)為以下說法是否正確：地球?qū)ι罹形矬w的吸引力比對(duì)地面物體的吸引力大？”在被訪的五十名學(xué)生中有35名學(xué)生同意此說法，有7名學(xué)生不同意，有8名學(xué)生沒有給出答案。筆者對(duì)學(xué)生的思考過程進(jìn)行記錄與研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思考過程如下：

（1）認(rèn)為此論述正確的大部分學(xué)生的思考過程是：因?yàn)榈厍騼?nèi)部一點(diǎn)到地心距離比地球表面物體到地心距離小，把距離代入萬有引力公式 ，因?yàn)槠渌慷枷嗟?，所以地球?qū)ι罹形矬w的吸引力大。

（2）持反對(duì)意見的學(xué)生們認(rèn)為，地球內(nèi)部物體受到的地球引力應(yīng)該比地表物體更小。他們首先想到這個(gè)問題有些像之前在電磁學(xué)中遇到的“求帶電球體體內(nèi)電場(chǎng)分布”那種類型的題目。根據(jù)高斯定理 ，求解球體內(nèi)部一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，因?yàn)楦咚姑鎯?nèi)包圍的電荷量小了，即②式右邊變小，所以內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度一定小于表面處。之后，學(xué)生們想到力學(xué)中的引力場(chǎng)也可以應(yīng)用高斯定理，并且地球內(nèi)部引力場(chǎng)分布應(yīng)該與帶電球體電揚(yáng)分布一致。把帶電球體內(nèi)部一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)推廣到地球引力場(chǎng)，過盆地內(nèi)部一點(diǎn)做高斯面，其內(nèi)部包圍的質(zhì)量少了，所以引力場(chǎng)應(yīng)該小于地表處引力場(chǎng)，所以受力應(yīng)較小。

同學(xué)們?yōu)槭裁磿?huì)得出兩種相反的答案？這兩種思考方法哪種正確？其間帶給我們什么思考呢？下面筆者應(yīng)用萬有引力公式和高斯定理兩種方法，對(duì)此問題加以討論，分析同學(xué)們的思考過程。

2 應(yīng)用萬有引力公式求解地球內(nèi)部引力場(chǎng)強(qiáng)度

首先來分析此問題是否能夠像有些同學(xué)認(rèn)為的那樣，直接應(yīng)用萬有引力公式 得出結(jié)論。萬有引力定律的原始形式只給出了質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的引力場(chǎng)分布，而地球是有一定大小的球體，嚴(yán)格的說我們需要知道地球物質(zhì)在各處產(chǎn)生的引力場(chǎng)分布。在實(shí)際計(jì)算中，我們分兩步解決此問題。首先，通過萬有引力公式和疊加原理解決空心球殼問題，之后把球體看作是很多球殼的疊加。

令球殼的半徑為R，質(zhì)量為M，均勻分布在球面上。以一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)放在各處去探測(cè)它所受的引力 （g為質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生的引力加速度，即該點(diǎn)引力場(chǎng)強(qiáng)度）球殼在各處產(chǎn)生的引力f，與加速度g的規(guī)律為

即在球內(nèi)完全沒有引力；在球外看來，球殼的全部質(zhì)量相當(dāng)于都集中在球心。

之后進(jìn)行第二步，計(jì)算球體的引力場(chǎng)。令球體的半徑為R，質(zhì)量為M，球?qū)ΨQ分布于球體內(nèi)，把球體分成許多層同心球殼?，F(xiàn)把質(zhì)量為m的物體放在距地心距離為r(r

由上述分析我們可以發(fā)現(xiàn)直接應(yīng)用萬有引力公式的那部分同學(xué)的錯(cuò)誤之處在于：他們只考慮到地球內(nèi)部半徑減小對(duì)萬有引力和引力場(chǎng)強(qiáng)度的影響，卻沒有考慮內(nèi)部質(zhì)量減少同樣會(huì)改變引力場(chǎng)強(qiáng)度的量值。一方面深度增加使半徑減少（r↓），導(dǎo)致物體受到地球的引力增大，即引力加速度增加。另一方面，地球內(nèi)部的物體，與放在地球表面的物體相比，其內(nèi)部包圍的質(zhì)量也比較小，導(dǎo)致物體所受到地球的引力減少，即引力加速度減小。因此在地球內(nèi)部，引力究竟是變大或變小，取決于以上兩個(gè)方面誰的影響占主導(dǎo)地位。

3 應(yīng)用高斯定理求解地球內(nèi)部引力場(chǎng)強(qiáng)度

3.1 引力場(chǎng)中的高斯定理

我們知道在引力場(chǎng)中有高斯定理： ，上式表示場(chǎng)強(qiáng)矢量g對(duì)任意封閉曲面的通量等于曲面包圍的全部質(zhì)量的-4πG倍。其中G為萬有引力常數(shù)，g為引力場(chǎng)強(qiáng)度，即在引力場(chǎng)作用下質(zhì)點(diǎn)位于該點(diǎn)時(shí)具有的引力加速度，引力場(chǎng)中的不同點(diǎn)的引力加速度是不同的。

3.2 地球內(nèi)部的引力場(chǎng)強(qiáng)度分布

由公式③，我們得出了解決這一問題的第二種方法——引力場(chǎng)高斯定理。由此看來上面調(diào)查的七位同學(xué)從高斯定理出發(fā)考慮這一問題是正確的。從他們的回答中，不難看出，他們是受到高斯定理在電場(chǎng)中應(yīng)用的啟發(fā)，才想到把它推廣到地球引力場(chǎng)的。他們比較了引力場(chǎng)與電場(chǎng)的相似之處，并且聯(lián)想到之前經(jīng)?？吹降睦}，均勻帶電球體的電場(chǎng)分布圖：

學(xué)生認(rèn)為地球引力場(chǎng)的分布和圖1一樣，所以得出結(jié)論，認(rèn)為地球內(nèi)部引力場(chǎng)強(qiáng)度小于地球表面引力場(chǎng)強(qiáng)度。

上面的分析表明，這些學(xué)生成功地運(yùn)用類比方法，找到了解決地球引力場(chǎng)分布的途徑。但學(xué)生們?cè)谶@之中卻忽視了一個(gè)重要前提即運(yùn)用高斯定理得到圖1的條件是電荷均勻分布于帶電球體上，那么如果地球引力場(chǎng)也按照?qǐng)D1分布，則地球內(nèi)點(diǎn)密度也必須均勻分布，如果只是球?qū)ΨQ分布是不能得到圖1的。證明如下：

設(shè)地球總質(zhì)量為M，密度分布均勻大小為ρ0，研究球體內(nèi)一給定點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)度，過一定點(diǎn)作以O(shè)為球心，半徑為r的高斯面S（r≤R），g為球面S處的引力場(chǎng)強(qiáng)度。

由圖3可知，圖2與均勻帶電球體電場(chǎng)分布圖形狀相同。

事實(shí)上，這種密度均勻分布的模型在多本力學(xué)教材中出現(xiàn)。這雖然極大的簡(jiǎn)化了地球密度分布模型，其結(jié)論也符合電磁學(xué)中學(xué)生對(duì)高斯定理基本問題的認(rèn)識(shí)，但是用這簡(jiǎn)化后的模型得到的g-r分布圖和真實(shí)情況差距非常大。其實(shí)，在高中地理課上我們學(xué)習(xí)地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)時(shí)就已經(jīng)知道，由于地球內(nèi)部的壓力作用，地球內(nèi)密度大的物質(zhì)集中于地球內(nèi)核，其中包含的元素為金屬及其化合物，而靠近地面附近的地殼結(jié)構(gòu)中，組成物質(zhì)大多是花崗巖，石灰?guī)r，所以其密度相差甚遠(yuǎn)。地球的平均密度約為5.516g/cm3。而實(shí)際測(cè)量卻表明，地表的物質(zhì)密度約為2.6-2.85g/cm3，地核由鐵及鐵鹽組成，其密度約為13.09g/cm3，通過地震波對(duì)地球內(nèi)部密度進(jìn)行精密測(cè)量，可得出圖4，將圖4中密度隨半徑變化趨勢(shì)簡(jiǎn)化為一次函數(shù)形式可得到圖5。

由圖4可知，將地球密度看作是球?qū)ΨQ分布是正確的，但是將密度看作是均勻分布是錯(cuò)誤的。很顯然ρ是r的函數(shù)。根據(jù)高斯定理，地球內(nèi)任意一點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)度大小為：

（1）在地殼和地幔的上半層，（即半徑為6370-3470km）由于地球物質(zhì)的密度較小，質(zhì)量變化對(duì)g造成的影響要小于半徑變化對(duì)g造成的影響，故地球引力隨深度的增加而緩慢增大，到離地心距離約3470km處達(dá)到極大值，即在靠近地面附近g值隨深度的增加而增大。

（2）在下地幔與外核層（即半徑為3470-1210km），隨著深度繼續(xù)增大，密度隨之急劇增大，這使得內(nèi)部質(zhì)量減小對(duì)引力場(chǎng)造成的影響大于半徑造成的影響，地球的吸引力隨之急劇減小。

（3）在內(nèi)核層（即半徑1210-0km），由于內(nèi)核處地球密度變化極小密度可視為常數(shù)，所以在內(nèi)核層，圖6與圖3曲線趨勢(shì)基本一致，為一正比函數(shù)隨半徑減小g不斷減小，地心處減小到零。

（4）比較圖6與圖3地球內(nèi)部g-r分布圖像可知，如把地球看作均勻分布的球體則g隨r增大而增大，所以到達(dá)地球表面處g達(dá)到極大值；如果考慮密度隨半徑的真實(shí)變化趨勢(shì)，則隨半徑增大g先增大后減小，在r=3470km達(dá)到最值。

4 高斯定理在教學(xué)中存在的問題

高斯定理作為電磁學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，是求解在電荷分布有對(duì)稱性情況下，電場(chǎng)強(qiáng)度的重要手段。通過大量的習(xí)題練習(xí)，學(xué)生已經(jīng)熟悉解決球?qū)ΨQ電荷分布問題的方法。

但是，學(xué)生們對(duì)高斯定理理解過于僵化。通過分析學(xué)生的作答過程，筆者發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生認(rèn)為在運(yùn)用高斯定理求解球?qū)ΨQ圖形球體內(nèi)部電場(chǎng)分布或引力場(chǎng)分布時(shí)，有著這樣一個(gè)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，即當(dāng)r減小時(shí)，高斯面內(nèi)包圍物質(zhì)質(zhì)量變化以r的立方指數(shù)減小，而高斯面面積以r的平方指數(shù)減小，所以在應(yīng)用式③求解g時(shí)，質(zhì)量的變化較快，起主要作用。即球內(nèi)部電場(chǎng)或引力場(chǎng)分布隨r減少而減小。

上面所得到的地球內(nèi)部g-r圖象，作為一個(gè)很好的例子糾正了同學(xué)們上面的錯(cuò)誤想法，使大家明白，在體密度分布不均勻的情況下，高斯面內(nèi)包圍的質(zhì)量（或電荷量）與表面積的變化誰占主要地位需要具體分析。同學(xué)們的想法只適用于密度均勻分布的情況，而很多同學(xué)卻把它推廣到了球?qū)ΨQ分布的所有球體，這顯然是不正確的。

5 結(jié)論

（1）運(yùn)用萬有引力公式求解地球內(nèi)部一點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)， 為內(nèi)部包

圍的質(zhì)量，而同學(xué)們往往把它等同于地球總質(zhì)量。

（2）以往物理教科書和習(xí)題中描述地球密度分布模型過于簡(jiǎn)化，應(yīng)用這種模型所計(jì)算出的地球引力場(chǎng)強(qiáng)度隨半徑變化規(guī)律與事實(shí)不符。

（3）學(xué)生對(duì)高斯定理的理解有局限性，過去學(xué)生遇到的問題多為：均勻密度分布的物體ρ(r)=ρ0，即使不是均勻分布而僅是球?qū)ΨQ的密度分布，也是ρ隨r單調(diào)變化，沒有遇到過密度變化隨r非單調(diào)變化的情況，所以同學(xué)們?cè)趹?yīng)用高斯定理時(shí)經(jīng)常忽視前提，出現(xiàn)將均勻帶電球體的模型推廣到任意球?qū)ΨQ的球體中此類的錯(cuò)誤。教師在進(jìn)行這一部分的教學(xué)工作時(shí)，可以通過類比地球引力場(chǎng)分布消除學(xué)生的錯(cuò)誤概念，使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到高斯定理的內(nèi)涵。

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(欄目編輯趙保鋼)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。