高考試題中的“多面手”——彈簧

從近幾年的高考試題和各類試題來(lái)看，經(jīng)常設(shè)計(jì)一些與彈簧相關(guān)聯(lián)的題目，這些問(wèn)題往往會(huì)涉及物理學(xué)的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，從力學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，由于在物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧彈力的不斷變化，往往使得問(wèn)題難度增大，從能量的觀點(diǎn)來(lái)看，彈性勢(shì)能在中學(xué)沒(méi)有給出計(jì)算公式，所以學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題感覺(jué)比較棘手。要想解決有關(guān)彈簧的問(wèn)題，首先要掌握解決這類問(wèn)題的技巧和思路。我們可以抓住彈簧的特殊位置對(duì)其所處的狀態(tài)加以分析，把變量轉(zhuǎn)化為狀態(tài)點(diǎn)間的關(guān)系去進(jìn)行分析求解。下面我們通過(guò)幾個(gè)典型例題來(lái)分析彈簧對(duì)物體的作用。

1 彈簧的彈力在彈性限度內(nèi)與彈簧發(fā)生的彈性形變量成正比，而且輕質(zhì)彈簧發(fā)生形變一定是彈簧的兩端同時(shí)受到相同的作用力，而與彈簧參與的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)

例1 如圖1所示，三個(gè)質(zhì)量均不計(jì)的完全相同的測(cè)力計(jì)，各小球重力G相同，不計(jì)一切摩

擦，平衡時(shí)各彈簧秤的示數(shù)分別為F₁、F₂、F₃、其大小關(guān)系是：（）

A．F₁=F₂=F₃

B．F₁=F₂3

C．F₁=F₃>F₂

D．F₃>F₁>F₂

解析 對(duì)小球進(jìn)行受力分析，因?yàn)樾∏蛱幱谄胶鉅顟B(tài)，所以彈力的大小與重力的大小相等，由此可知F₁=F₂=F₃ =G，故選項(xiàng)A正確。



例2 如圖2所示，四個(gè)完全相同的彈簧都處于水平位置，它們的右端受到大小皆為F的拉力作用，而左端的情況各不相同:①中彈簧的左端固定在墻上；②中彈簧的左端也受大小為F的拉力作用；③中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在光滑的桌面滑動(dòng)；④中彈簧的左端拴一小物塊，物塊在有摩擦的桌面上滑動(dòng)。不計(jì)彈簧質(zhì)量，以l₁、l₂、l₃、l₄依次表示四個(gè)彈簧的伸長(zhǎng)量，則有：（）

A.l₂>l₁ B.l₄>l₃

C.l₁>l₃ D.l₂=l₄



解析 彈簧受到的力在彈性限度以內(nèi)與彈簧的形變成正比，用外力F作用于彈簧，根據(jù)牛頓第三定律，作用力與反作用力總是相等，與物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。所以以上四種情況中彈簧的伸長(zhǎng)量相同。故選項(xiàng)D是正確的。

2 彈簧對(duì)物體的作用力跟形變有關(guān)，當(dāng)彈簧兩端有物體時(shí)，由于物體具有慣性，所以彈簧發(fā)生和恢復(fù)形變都需要時(shí)間，不會(huì)發(fā)生突變，只能逐漸改變

例3 如圖3所示，質(zhì)量均為m的兩球AB， 以輕質(zhì)彈簧相連，A球上端以一細(xì)線系在天花板上處于靜止?fàn)顟B(tài)。當(dāng)細(xì)線被剪斷的瞬間，AB兩球的瞬時(shí)加速度分別為（）

A．2g，2g B．2g，0

C．g，g D．0，g

解析 在平衡時(shí)，受力如圖3所示，對(duì)Ｂ有：F=mg；對(duì)A有：T＝F＋mg＝2mg。

當(dāng)細(xì)線剪斷的瞬間，Ｔ消失，其余力皆不變（因?yàn)閼T性，彈簧兩端的物體保持原來(lái)的狀態(tài)，使得彈簧來(lái)不及恢復(fù)原狀，瞬間彈簧的彈力不變），所以Ｂ的合外力瞬間仍然為零，加速度為零。Ａ的加速度根據(jù)牛頓第二定律為：a＝(F+mg)/m＝2g，方向向下，故選項(xiàng)Ｂ正確。

如果將A、B間彈簧換成細(xì)線，則剪斷A球上面的細(xì)線瞬間，A、B將作自由落體運(yùn)動(dòng)，A、B間的細(xì)線上的力發(fā)生突變，為零。

3 把求彈簧彈力這個(gè)變力的作用效果的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求其它力的問(wèn)題，雖然彈力屬于變力，但在運(yùn)動(dòng)中可以借助于動(dòng)能定理和動(dòng)量定理以及能量守恒定律等求它的作用效果

例4 一根輕彈簧，下端系有質(zhì)量為m的物體A，在A的下面再掛一個(gè)質(zhì)量也是m的物體B，如圖4所示，在A、B保持靜止時(shí)燒斷AB間的細(xì)繩，如果A回到原平衡位置的速率為v，而此時(shí)B的速率為u，那么在這段時(shí)間的彈力對(duì)A沖量為：

A.m（v+u） B.m（v-u）

C.mv D.mu

解析 在此過(guò)程中彈力方向不變而大小改變，求變力的沖量不能直接用I=Ft，可以借助動(dòng)量定理。彈簧回縮過(guò)程中，有彈力和重力的沖量，物體A的動(dòng)量的變化取決于這兩個(gè)力合力的沖量，而重力的沖量可以由定義式求出，時(shí)間可以從物體B 的運(yùn)動(dòng)情況求出：

t=u/g，設(shè)彈力的沖量為I，根據(jù)動(dòng)量定理I－mgt＝mv，所以I＝m（u+v），方向豎直向上。因此選項(xiàng)A正確。

4 在運(yùn)動(dòng)中找特殊的狀態(tài)點(diǎn)，比如平衡位置，自然長(zhǎng)度等容易確定的狀態(tài)，從而確定這些特殊位置的力學(xué)特點(diǎn)和能量特點(diǎn)

例5 如圖5所示，自由下落的小球，從接觸豎直放置的彈簧開(kāi)始到彈簧的壓縮量最大的過(guò)程中，小球的速度及所受的合外力的變化情況是( )

A．合力變小，速度變小

B．合力變小，速度變大

C．合力先變小，后變大，速度先變大，后變小

D．合力先變大，后變小，速度先變小，后變大

解析 小球剛與彈簧接觸尚未形變時(shí)，有速度，此時(shí)合外力等于重力mg，隨著彈簧的壓縮，彈力逐漸增大，合力F＝（mg－kx）逐漸減小，但合力的方向向下，加速度的方向向下，與速度的方向相同，所以速度仍在增大。當(dāng)彈力增大到等于重力時(shí)，合力F＝（mg-kx）＝0，此時(shí)加速度為零，速度達(dá)到最大。小球由于慣性繼續(xù)往下運(yùn)動(dòng)，彈簧形變量x繼續(xù)增大，彈力大小超過(guò)重力，合力F方向向上，且合力大小逐漸增大，則加速度逐漸增大，但方向豎直向上，與速度方向相反，故小球做變減速運(yùn)動(dòng)，速度逐漸減小，至某一時(shí)刻小球速度為零，但仍有向上的加速度，所以小球要反向返回。故選項(xiàng)Ｃ正確。

例6 如圖6所示，在勁度系數(shù)為k的彈簧下端掛有質(zhì)量為m的物體，開(kāi)始時(shí)用托盤托住物體，使彈簧保持原長(zhǎng)，然后使托盤以加速度a勻加速下降（a＜g），求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間托盤與物體分離?

解析 當(dāng)托盤以a勻加速下降時(shí)，物體與托盤具有相同的加速度，在下降過(guò)程中物體所受的彈力逐漸減小，當(dāng)物體與托盤分離時(shí)，支持力消失。設(shè)彈簧伸長(zhǎng)量為x，以物體為研究對(duì)象，有mg-kx=ma。

例7 如圖7所示，兩物體中間有一壓縮的彈簧，用一細(xì)線相連處于靜止?fàn)顟B(tài)，兩物體的質(zhì)量m₁=2m₂，兩物體與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=2μ₁，當(dāng)燒斷細(xì)線后，彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)（已知兩物體脫離彈簧時(shí)的速度均不為零），則：

A．兩物體在剛脫離彈簧時(shí)速率最大

B．兩物體在剛脫離彈簧時(shí)速率之比為1∶2

C．兩物體的速率同時(shí)達(dá)到最大值

D．兩物體在彈開(kāi)后同時(shí)達(dá)到靜止

解析 m₁物體受到的摩擦力f₁＝μ₁m₁g ，m₂物體受到的摩擦力f₂＝μ₂m₂g 。

因?yàn)閙₁=2m₂且μ₂＝2μ₁，所以f₁＝f₂。因此m₁和m₂組成的系統(tǒng)所受合外力為零，即在運(yùn)動(dòng)中的任何時(shí)刻，二者的速率比都是1∶2，并且同時(shí)達(dá)到最大值，故B、C正確。

當(dāng)彈力大于摩擦力時(shí)，物體做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈力小于摩擦力時(shí)，物體做減速運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)彈力等于摩擦力時(shí)，速率最大，故A錯(cuò)。

離開(kāi)彈簧后物體只受摩擦力，做勻減速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式0=v－μgt， 所以t＝v/μg，則t₁=t₂ ， 同時(shí)達(dá)到靜止，故D也正確。

例8 如圖8所示，在傾角為θ的光滑斜面上有兩個(gè)用輕質(zhì)彈簧相連接的物塊A、B，它們的質(zhì)量分別為m_{A、mB，彈簧的勁度系數(shù)為k，C為一固定擋板。系統(tǒng)處一靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)開(kāi)始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A使之向上運(yùn)動(dòng)，求物塊B剛要離開(kāi)C時(shí)物塊A的加速度a和從開(kāi)始到此時(shí)物塊A的位移d，重力加速度為g。}

解 令x₁表示未加F時(shí)彈簧的壓縮量，由胡克定律和牛頓定律可知：

m_Agsinθ=kx₁。①

令x₂表示B剛要離開(kāi)C時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量， a表示此時(shí)A的加速度，由胡克定律和牛頓定律可知：

5 彈力做功與動(dòng)量、能量的綜合問(wèn)題

在彈力做功的過(guò)程中彈力是個(gè)變力，并與動(dòng)量、能量聯(lián)系，一般以綜合題出現(xiàn)。它有機(jī)地將動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒、功能關(guān)系和能量轉(zhuǎn)化結(jié)合在一起，以考察學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。分析解決這類問(wèn)題時(shí)，要細(xì)致分析彈簧的動(dòng)態(tài)過(guò)程，利用動(dòng)能定理和功能關(guān)系等知識(shí)解題。

例9 如圖9，質(zhì)量為m₁的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m₂的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開(kāi)始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上吊一質(zhì)量為m₃的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為(m₁+m₃)的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。

綜上舉例，從中看出彈簧試題的確是培養(yǎng)、訓(xùn)練學(xué)生物理思維和反映、開(kāi)發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能的優(yōu)秀試題。彈簧與相連物體構(gòu)成的系統(tǒng)所表現(xiàn)出來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，是學(xué)生充分運(yùn)用物理概念和規(guī)律（牛頓第二定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律），巧妙解決物理問(wèn)題、施展自身才華的廣闊空間，當(dāng)然也是區(qū)分學(xué)生能力強(qiáng)弱、拉大差距、選拔人才的一種常規(guī)題型。因此，彈簧試題也就成為高考物理的一種重要題型，而且也是高考物理題中一類獨(dú)具特色的考題。

(欄目編輯趙保鋼)

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