巧解“電容器極板上電荷分布”問題
2007-12-31 00:00:00何堯榮
物理教學探討 2007年11期
求解電容器極板上電荷的分布問題，是電學中的一個難點，解答這類問題需要綜合電荷守恒定律、靜電平衡條件及處于靜電平衡導體的性質、電場線的性質等知識。練習、解答這類問題有助于提高形象、抽象思維能力和綜合分析能力，從而逐漸形成創(chuàng)新意識，發(fā)展創(chuàng)新能力。
本人以為解答這類問題，關鍵要抓住“處于靜電平衡的金屬板內電場強度為零”這一點，再綜合運用電場的有關知識即可順利解答。由于兩相互平行的，靠得很近的金屬板所組成的平行板電容器，當極板帶電時內部的電場為勻強電場。平行板電容器的電容為
由于其內部電場是兩塊極板上電荷所產生的電場的疊加，正、負極板所帶的電量相等，因而在電容器內部，正、負極板所產生的電場相互加強；電容器外部，正、負極板所產生的電場抵消。無限大平行金屬板所產生的電場是垂直于極板的勻強電場，場強為E0=2πkσ，方向垂直于極板向兩側無限伸展，如圖1所示。因此無限大帶電金屬板在其附近所產生的勻強電場的電場強度正比于極板表面上分布的面電荷密度。對于孤立的帶電金屬板，由于其兩側表面上電荷在金屬板內部所產生的電場大小相等、方向相反，從而相互抵消，如圖2所示。
綜上所述，求解平行金屬板的帶電問題時，根據(jù)帶電金屬板所產生的電場的性質，靜電平衡性質及電荷守恒定律，可以得出金屬板中心線兩側所帶電荷的電量相等。下面舉幾例加以說明。
例1 兩塊相互平行的金屬板A和B，分別帶電量＋Q和－Q／2，完全正對地相互靠近，兩板間距離為1mm，求金屬板A、B上電荷的分布情況？
分析與解 設金屬板A的左右兩側所帶的電量分別為+x和Q-x，由于靜電感應，B板左側所帶的電量必為-（Q-x），則由電荷守恒定律可得，B板的右側所帶的電量為Q/2-x。由于金屬板B中央的電場強度為零，即A、B兩板左右兩側電荷各自產生的電場在B板中央疊加后為零。再由電容器內部場強公式
例2 有平行金屬板B、C組成的電容器，電容為C，帶電量為2Q，B板帶正電，C板接地。今將另一塊與B、C完全一樣的，帶電量為＋Q的金屬板A，從無窮遠移近B，使A、B間距離恰好是B、C間距離的一半，且完全正對。今將在A板附近的質子釋放，如圖5所示，已知質子電量為e，質量為m，則質子穿過B板最后撞擊C板的速度為多少？
分析與解 設金屬板A左側所帶的電量為x，由電荷守恒定律可知A板的右側為Q-x，根據(jù)靜電感應，B板的左側所帶的電量必為-（Q-x），如前分析，同理有B板的右側為3Q-x，同樣由靜電感應可得，C板的左側所帶的電量為-（3Q-x），因為C板接地，其右側必不帶電，這是因為假如右側帶正電的話，就有從C指向無窮遠的電場線，沿電場線方向電勢是降低的，則C比無窮遠處的電勢要高，而無窮遠的電勢為零，則C板的電勢為正，現(xiàn)C板接地，電勢為零，相互矛盾，故有C的右側不可能帶正電；同樣，假如C板帶負電，則C板和無窮遠之間就有從無窮遠指向C板的電場線，使C板的電勢比無窮遠要低，為負電勢，但C板接地為零電勢，因而也相互矛盾，故而C板右側帶負電也是不可能的。綜合上述兩種情況，C板右側不帶電。由于C板中央的場強為零，即A、B、C三板各側電荷產生的電場在C板中央疊加后所得總場強為零。同前例中所述，由電容器內部場強公式
例3 一平行板電容器，極板面積可視為無窮大，將其兩極板接地，今在兩極板間Ｐ點放置一點電荷，其電量為＋Q，它到兩極板間的距離分別為a和b，如圖6所示。求放入此電荷后，電容器兩極板上所帶的電量？
分析和解 設Ｑ放于Ｐ點時，左右極板上的感應電荷分別為q1、q2，若把電荷向上沿平行于極板方向移到另一位置Ｐ′時，由于電荷Ｑ離無窮大的左右極板的距離不變，極板上的感應電荷仍是q1、q2，若把點電荷Ｑ一分為二，分別置于過P點且與極板平行的平面上的兩點上時，由于它們與兩極板的相對位置與原來一樣，故兩極板上的感應電荷與原來一樣；若把Q等分為無窮多的小電荷，把它們均勻地置于過P的與兩極板平行的平面上時，即相當于把電量為Q的電荷分布于與左右極板距離為a、b的金屬板上，這時兩極板上的感應電荷的電量仍q1、q2。這時該金屬板與左右兩金屬板組成了兩個平行板電容器，兩個電容器所帶的電量分別為q1、q2，如圖7所示，q1、q2即為題設所求。
現(xiàn)設這兩個電容器的電容分別為C1、C2。由于左右金屬板接地，因而兩電容器相互并聯(lián)，電壓相等，
討論 與左右兩金屬板相距為a和b的P點置一點電荷Q，在金屬板上的感應電荷的多少，與三塊平行金屬板，左右兩塊金屬板接地，中間一塊金屬板帶電量為Q時，左右兩塊金屬板上的感應電荷多少相等。這雖然是兩種不同的情景，其內部的電場完全不同，但金屬板上所感應出來的電量卻是相等的，本題的解答正是抓住了感應電量相等這一唯一的等量關系，使本題的解法化繁為簡。
（欄目編輯羅琬華）
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