縱向規(guī)則波中參數(shù)橫搖的數(shù)值模擬

付麗坤，蔣志鵬

（上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200030）

參數(shù)橫搖是阻尼較小的船在頂浪和接近頂浪的情況下，遭遇一定頻率的波浪時(shí)，伴隨著顯著的縱搖、升沉運(yùn)動(dòng)，船舶將在短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生很大橫搖角的現(xiàn)象［1］。發(fā)生參數(shù)橫搖的條件包括：橫搖周期約為波浪周期的兩倍，波長(zhǎng)近似船長(zhǎng)，波高超過(guò)定值，橫搖阻尼較低。

參數(shù)橫搖的研究工作在20世紀(jì)30年代已經(jīng)開(kāi)始，當(dāng)時(shí)人們主要基于簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型對(duì)方程進(jìn)行解析解研究，目的僅限于定性分析［2］。1998年10月集裝箱船APL CHINA號(hào)發(fā)生參數(shù)橫搖事故后，研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)向了設(shè)計(jì)階段對(duì)參數(shù)橫搖的實(shí)際預(yù)報(bào)，以避免運(yùn)行中船舶傾覆的危險(xiǎn)。

1 參數(shù)橫搖研究的幾種經(jīng)典模型

在頂浪或隨浪中，當(dāng)波峰、波谷經(jīng)過(guò)全船時(shí)，船體周?chē)膲毫Σ粩嘧兓@種壓力差引起垂蕩，結(jié)果不再是常數(shù)，而是變化的。取正弦波的簡(jiǎn)單情況，在頂浪情況下方程為：

式中：φ——船舶橫搖角位移；

a——橫搖的虛質(zhì)量慣性矩系數(shù)；

b——阻尼力矩系數(shù)。

上述馬休（Mathieu）方程［3］是研究參數(shù)橫搖的基礎(chǔ)，雖然不同的學(xué)者采用了不同的數(shù)學(xué)模型，但是基本的理論都來(lái)源于Mathieu方程。馬休方程的特點(diǎn)是：在無(wú)阻尼情況下，當(dāng)頻率為某些值時(shí)，解趨近于無(wú)窮大。這些頻率所對(duì)應(yīng)的周期值為：是船的固有周期。

基于經(jīng)典的馬休方程理論，目前已有多種參數(shù)橫搖的數(shù)學(xué)模型，均可有效模擬參數(shù)橫搖幅值。

Alberto Francescutto、Gabriele Bulian 和Claudio Lugni［4-6］提出了一種簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)模型——1.5自由度的橫搖方程：

式中：d（φ）——阻尼方程；

ω0——靜水中的橫搖固有周期；

（φ，xc）——波浪中的復(fù)原力臂。

對(duì)于確定的簡(jiǎn)諧波，可以采用船模試驗(yàn)和靜水力計(jì)算的方法確定橫搖方程中的未知項(xiàng)。

Marcelo A.S.NEVES、Nelson A.PéREZ［7］等人提出了升沉-橫搖-縱搖三種運(yùn)動(dòng)完全耦合的參數(shù)橫搖模型：

式中：Jx——為橫搖慣性矩系數(shù)；

z、θ——是升沉和縱搖的線性響應(yīng)。

η代表波浪，有關(guān)參數(shù)激勵(lì)的系數(shù)K都與水線面幾何性質(zhì)的微分有關(guān)，阻尼系數(shù)Kφ·可以由半經(jīng)驗(yàn)程序得到或者由橫搖衰減試驗(yàn)得出，水動(dòng)力系數(shù)利用三維平板的方法來(lái)確定。

S.Ribeiro e Silva、T.Santos和 C.Guedes Soaves［8］考慮了甲板入水和船舶復(fù)原力矩非線性項(xiàng)的影響，在時(shí)域內(nèi)運(yùn)用了非線性的五自由度（橫蕩、升沉、橫搖、縱搖、首搖）船舶運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模型：

式中：M44+A44——橫搖慣性矩系數(shù)；

B441——線性阻尼系數(shù)；

B442——二次方阻尼系數(shù)，可以通過(guò)船模自由衰減試驗(yàn)獲得；

C44——復(fù)原力矩系數(shù)。

橫搖方程中的未知項(xiàng)可以采用船模試驗(yàn)和靜水力計(jì)算的方法確定［9～10］。

另外，Jerzy Matusiak［11］運(yùn) 用 了 二 階 方 法（two-stage approach）處理參數(shù)橫搖的非線性模型問(wèn)題。Naoya Umeda和 Hirotada Hashimoto［12］等人認(rèn)識(shí)到傅汝德-克雷洛夫方法在模擬參數(shù)橫搖時(shí)會(huì)過(guò)高估計(jì)波浪對(duì)橫搖復(fù)原力矩的影響，也會(huì)高估參數(shù)橫搖導(dǎo)致船舶傾覆的危險(xiǎn)。

2 基于ITTC模型的參數(shù)橫搖數(shù)值模擬

ITTC對(duì)頂浪情況下規(guī)則波中船舶的參數(shù)橫搖方程提出了建議：

式中：ζ——橫搖阻尼比；

C3——復(fù)原力矩系數(shù)；

ωz——遭遇頻率；

h——GM的相對(duì)變化值。

方程中的橫搖阻尼系數(shù)可采用船模試驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)公式確定。Subrata Chakrabarti［13］提出總阻尼由等效線性阻尼項(xiàng)來(lái)估計(jì)：

式中：Beq——等效線性阻尼系數(shù)。

阻尼系數(shù)成分如下：Bf是船體摩擦阻尼，Be是船體漩渦阻尼，Bw是自由表面興波阻尼，BL是升力阻尼，BBK是舭龍骨阻尼。

在無(wú)船速和有船速兩種情況下公式（7）中各成分都有相應(yīng)的估算表達(dá)式。

波浪中復(fù)原力臂的變化可采用壓力積分法［9］、快速模擬法［14］等多種方法確定?？焖倌M法將船體剖面船寬，相對(duì)于龍骨線的剖面慣性矩和剖面面積因瞬時(shí)水線的變化用平均吃水T（x）處的泰勒級(jí)數(shù)來(lái)表示：

式中：z——表示剖面水線變化的變量。

用r（x，t）（船相對(duì)于波浪表面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)）來(lái)代替變量z，它可以由升沉和縱搖的傳遞函數(shù)［15］求得。最后，在縱向規(guī)則波或不規(guī)則波中船舶的GM變化可表示如下：

其中：KG（x）——剖面重心，

KG（x）＝KG+x·（η5-atrim）

η5——波浪引起的縱搖角；

atrim——靜水中的縱傾角。

3 實(shí)例分析結(jié)果

將基于ITTC數(shù)學(xué)模型的參數(shù)橫搖預(yù)報(bào)方法應(yīng)用于一艘滾裝船模型，參數(shù)橫搖的實(shí)驗(yàn)在意大利INSEAN船模實(shí)驗(yàn)室完成［5］。船模主要參數(shù)參考表1。

表1 滾裝船模型主要參數(shù)

數(shù)值模擬和水池試驗(yàn)均針對(duì)三種規(guī)則波：波陡Sw＝，波長(zhǎng)和船長(zhǎng)比為0.750，0.932，1.000。在每一種規(guī)則波條件下，以若干航速點(diǎn)進(jìn)行模擬和試驗(yàn)，同時(shí)采用ITTC解析公式進(jìn)行驗(yàn)證，對(duì)比結(jié)果分別列于圖1中。在數(shù)值模擬時(shí)，采用四階／五階龍格-庫(kù)塔算法，初始橫搖角取為2°，給定的初始橫搖角并不影響后期的諧搖運(yùn)動(dòng)幅值，只是縮短了發(fā)生參數(shù)橫搖運(yùn)動(dòng)的時(shí)間［11］。

圖1 波陡，波長(zhǎng)船長(zhǎng)比0.75的橫搖角

圖2 波陡，波長(zhǎng)船長(zhǎng)比0.932的橫搖角

圖3 波陡，波長(zhǎng)船長(zhǎng)比1的橫搖角

4 結(jié)論

從數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比可以看出：本文所采用的數(shù)學(xué)模型和算法對(duì)于規(guī)則波中參數(shù)橫搖的預(yù)報(bào)是準(zhǔn)確有效的。

由于此方法是基于傅汝德-克雷洛夫假設(shè)的，高估了GM變化以及最終的橫搖幅值，驗(yàn)證了最近Umeda等人的結(jié)論。

與其他方法比較，本文方法應(yīng)用簡(jiǎn)單，計(jì)算快速。在設(shè)計(jì)初期，只需要知道船舶的主要參數(shù)和型線即可模擬參數(shù)橫搖，避免諧搖現(xiàn)象的發(fā)生。但是當(dāng)較大時(shí)或者波高較高時(shí)，預(yù)報(bào)結(jié)果比試驗(yàn)數(shù)據(jù)偏高，預(yù)報(bào)準(zhǔn)確性仍有待提高。

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