阿羅定理的故事

蘇振華

阿羅定理證明了投票并不是通往民主的捷徑，同時也加深了人們對民主制度更多的理解

規(guī)則、約束似乎已經(jīng)成為現(xiàn)代人生活中無法回避的重要內(nèi)容。而我們可以設(shè)想，在結(jié)成社會之前的原始狀態(tài)下，由于沒有任何規(guī)則、任何約束，人們會陷入到“一切人對一切人戰(zhàn)爭”的恐怖生活之中。為了和平共處，人們必須達成一些基本的共識，比如共同遵守任何人不得隨意侵害他人生命之類的原則。

形成某種共同意志是人類社會中頻繁發(fā)生的事?？墒牵娬f紛紜時，共識怎樣才可能形成呢？我們可以設(shè)想有這樣幾種方式:其一，知識就是力量，讓最聰明的人替所有人做決定;其二是把命運交給上帝，根據(jù)宗教教義、傳統(tǒng)來做決定;其三，人群中有一個獨裁者，他的意志就是一切;其四，通過投票的方式，依據(jù)某種投票規(guī)則，比如少數(shù)服從多數(shù)的原則來做集體決策。

在現(xiàn)代社會里，前三種方式是不能被接受的，康德在200年前提出的一個偉大命題——“每一個人都是目的”，已然成為普世價值。在做集體決策時，每一個人的選擇都是必須被尊重的，上述前三種方式違背了這一原則，而最后一種方式則被廣為接受，這種方式被稱為“民主”。

“民主”，這是一個令國人百感交集的詞?！拔逅摹币詠恚懊裰鳌迸c“科學”就成為國人孜孜以求的強國之路。在為數(shù)不少的人的理解中，“民主”被理解為是一種投票規(guī)則，其意義在于大家根據(jù)多數(shù)原則通過投票推舉出最受我們愛戴或信賴的人。

然而，在今天看來，如此理解民主顯然是太簡單化了。偉大的古希臘哲學家蘇格拉底因言獲罪，要接受公民大會的判決。這一次的公民大會經(jīng)歷了初審和復審兩道程序，初審中500個公民進行了投票，結(jié)果是280票對220票判處蘇格拉底有罪。復審是決定蘇氏是否該判死刑，復審之前，蘇格拉底雄辯地為自己做了無罪辯護，可是希臘民眾不僅沒有被他口才折服，反而更加激怒，結(jié)果是以360∶140票判處蘇格拉底死刑。所謂的民主，就這樣剝奪了一個文化巨人的生命。

毫無疑問，民主是一種偉大的價值，可是，將民主簡單地理解為多數(shù)決策規(guī)則是過于簡單化了，多數(shù)決策原則很可能會帶來邏輯上矛盾的結(jié)果，對此做出了最深刻和最徹底揭示的是美國當代的思想家肯尼斯·阿羅，他于1972年獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎。

阿羅定義了個人做選擇時必須遵守的5項公理性條件:第一，理性條件，這項條件要求個人選擇中的偏好排序是可以傳遞的，即如果某個人對三種狀態(tài)的排序順序是x優(yōu)于y、y優(yōu)于z，那么要求x優(yōu)于z成立;第二，無約束域條件，即每個人對備選項中所有邏輯上可能的排序都是許可的，這一要求即是所謂“個人主權(quán)”原則，它強調(diào)的是個人的偏好完全是自主選擇自由表達的;第三是非獨裁條件，不允許存在某個人的偏好選擇總是自動地成為大家的共同偏好，這是要求不能存在獨裁者;第四是帕累托原則，當所有的社會成員都認為某種備選方案優(yōu)于另一種方案時，社會也應(yīng)該這樣認為;第五是無關(guān)方案獨立性條件，這要求任意兩個備選方案的排序應(yīng)具有獨立性，應(yīng)僅取決于個體對這兩個社會狀態(tài)的排序，與其他社會狀態(tài)的排序無關(guān)。這些前提條件被認為只是一些常識性的要求，大致都是一些起碼的共識。但是，從這些常識性前提出發(fā)，阿羅卻在1951年發(fā)現(xiàn)，如果對大于3個的備選方案按照少數(shù)服從多數(shù)規(guī)則進行投票時，會出現(xiàn)投票循環(huán)。進而，阿羅更徹底地證明了，不可能找到一種仍不為人所知，但又滿足阿羅合理性指標的社會決策規(guī)則。這就是著名的“阿羅不可能性定理”。

阿羅定理的證明過程很復雜，但并不難理解，可以給出一個最簡單的例子來說明。3個人甲、乙、丙對三種社會狀態(tài)a、b、c進行投票。甲的選擇是a優(yōu)于b、b優(yōu)于c，乙的選擇是b優(yōu)于c、c優(yōu)于a，丙的選擇是c優(yōu)于a、a優(yōu)于b，按照多數(shù)原則選出一個最佳方案,則我們可以發(fā)現(xiàn)，對a與b投票時a勝于b，對b與c投票時b勝于c，對c與a投票時c勝于a，出現(xiàn)了循環(huán)，即a>b、b>c、c>a，這種結(jié)果是一種邏輯矛盾。如果一定要做出選擇，無論是選擇哪個選項，總會違背一個人的意愿。當年，偉大的法國思想家托克維爾在考察美國的政治制度時就發(fā)現(xiàn)，簡單多數(shù)投票規(guī)則會出現(xiàn)一種所謂“多數(shù)人的暴政”，形成多數(shù)意見對少數(shù)意見的壓制。

當然，投票循環(huán)并不是經(jīng)常發(fā)生，而具有一定的偶然性。后來有研究發(fā)現(xiàn)，隨著投票人數(shù)量或被選擇項越多，產(chǎn)生投票循環(huán)的可能性就越大。在投票者為3人，選擇方案為3個的情況下，產(chǎn)生投票循環(huán)的概率約為5.7％;當投票者增加至15人，選擇方案增加至11個時，產(chǎn)生投票循環(huán)的概率提高到50％，也就是說，兩次投票中就有一次投票循環(huán)現(xiàn)象出現(xiàn)。因而，對于每天都在頻繁進行著各種會議和集會的民主社會來講，如此高的投票循環(huán)概率使得這種決策方式失去了意義。

而且，按照多數(shù)原則形成的決策結(jié)果未必可靠。一個真實的例子是，烏克蘭在1991年3月的全民公決中，70.2％贊成維持蘇聯(lián)聯(lián)邦體制，不贊成獨立;同年12月的全民公決，90.3％的人卻轉(zhuǎn)過來支持烏克蘭的獨立。

阿羅定理的發(fā)現(xiàn)是向傳統(tǒng)思維投擲了一枚思想炸彈，引起了西方學術(shù)界廣泛的討論，一直延續(xù)到今天。但是，阿羅定理經(jīng)受住了所有邏輯上的質(zhì)疑，研究者們不得不同意，只要遵循阿羅的邏輯框架，阿羅定理就一定成立。

難道民主并不如想象中的美好嗎？事實并非如此，阿羅定理其實只是加深了人們對民主制度更多的理解。在今天，能有效克服阿羅定理的新型民主制度已然出現(xiàn)，并已在社會實踐中逐漸擴展，這就是“協(xié)商民主”制度。