學(xué)習(xí)軸對(duì)稱圖形要做到“三會(huì)”

軸對(duì)稱圖形是一類特殊的圖形，具有許多重要的性質(zhì)，應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決許多問題，軸對(duì)稱圖形在日常生活中應(yīng)用十分廣泛，因此同學(xué)們要重視這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)，通過學(xué)習(xí)要達(dá)到“三會(huì)”：

一、會(huì)識(shí)別軸對(duì)稱圖形，確定軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)

例1（2006年深圳市中考試題）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的為（ ）.

分析：通過觀察分析這4個(gè)圖案可以發(fā)現(xiàn)：A、B、C都不是軸對(duì)稱圖形，因?yàn)椴淮嬖谝粭l直線使它們對(duì)折后能完全重合，而D中存在（三條）直線使它對(duì)折后能完全重合，故應(yīng)選D.

例2（2006年寧波市中考試題）下列圖形中只有一條對(duì)稱軸的是（ ）.

分析：觀察這4個(gè)圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)：A中有兩條對(duì)稱軸，B中有兩條對(duì)稱軸，C中只有一條對(duì)稱軸，D中有六條對(duì)稱軸，因此選C.

二、 利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案

例3（2006年紹興市中考試題）如圖1，在網(wǎng)格中有兩個(gè)全等的圖形(陰影部分)，用這兩個(gè)圖形拼成軸對(duì)稱圖形，試分別在圖（1）、（2）中畫出兩種不同的拼法．

分析：由于這是一道開放題，答案很多.可應(yīng)用網(wǎng)格線為對(duì)稱軸，來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形.下面提供部分答案，供同學(xué)們參考.不同的畫法列舉如下（如圖2）：

三、應(yīng)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)解題

1．應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)

例4如圖3，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB 的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D.

求：（1）∠DBC的度數(shù)；

（2）如△DBC的周長(zhǎng)為14cm， 求AB+BC的長(zhǎng).

解：(1)因?yàn)锳B=AC，所以∠ABC=∠C，已知∠A=40°，所以∠ABC=

=70°.因?yàn)镸N是AB的垂直平分線，所以DA=DB，∠DBA=40°.因此∠DBC=70°-40°=30°.

(2)△DBC的周長(zhǎng)=BD+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=AB+BC.因?yàn)椤鱀BC的周長(zhǎng)為14cm， 所以AB+BC=14cm.

2．應(yīng)用角的對(duì)稱性

例5如圖4， AD為△ABC中∠BAC的平分線， AB＞AC， P為AD上的一點(diǎn).求證: AB-AC＞PB-PC.

分析:題中含有“AD為△ABC中∠BAC的平分線”的條件，因此可沿角平分線AD對(duì)折△ABP， 得到全等對(duì)稱圖形△AEP，于是可在此三角形中討論線段差的大小.

證明:延長(zhǎng)AC到E， 使AE=AB， 連接PE. 在△BAP和△EAP中，因?yàn)锳B=AE，∠BAP=∠EAP， AP=AP， 所以△BAP≌△EAP.所以PB

=PE.

因?yàn)樵凇鱌EC中， EC＞PE-PC， 所以AE-AC＞PE-PC， 即AB-AC＞PB-PC.

3．應(yīng)用等腰三角形的對(duì)稱性

例6(2005年郴州市中考試題)如圖5， 點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上， AD

=AE，AB=AC， 求證: BD=CE.

分析:△ABC和△ADE是底邊在同一條直線上的等腰三角形，所以它們有共同的對(duì)稱軸——底邊的中垂線(或底邊上的高、中線或頂角的平分線所在的直線)，作出這條對(duì)稱軸即可.

證明:過點(diǎn)A作AF⊥BC于F， 因?yàn)锳B=AC， 所以BF=CF. 又因?yàn)锳D=AE， 所以DF=EF. 所以BF-DF=CF-EF， 即BD=CE.

4．應(yīng)用等腰梯形的對(duì)稱性

例7(2006年宜昌市中考試題) 如圖6，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．

（1） 利 用尺規(guī)作底邊AD的中點(diǎn) E.（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）連接EB、EC ，求證：∠ABE=∠DCE ．

分析:本題將等腰梯形知識(shí)的考查與尺規(guī)作圖有機(jī)地結(jié)合在一起，解題中所需要的圖形要考生自己先作出，它對(duì)第（2）題的解答有著至關(guān)重要的影響.

解：（1）分別以A、D為圓心，大于 AD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩條弧在AD上下兩側(cè)的兩個(gè)交點(diǎn)為F、G， 作直線FG， 則FG與AD的交點(diǎn)即為E點(diǎn)(如圖7).

（2）證明：易知EF是等腰梯形ABCD的對(duì)稱軸，由等腰梯形的對(duì)稱性可知∠ABC=∠DCB，又 E為AD的中垂線上一點(diǎn)， 所以EB=EC， 所以∠EBC=∠ECB，所以∠ABE=∠DCE.

5．應(yīng)用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)解決實(shí)際問題

例8如果A、B兩鎮(zhèn)在燃?xì)夤艿纋的同旁，泵站應(yīng)修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?(如下圖8)

分析：通過軸對(duì)稱變換，把A、B在直線l同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線l兩側(cè)的問題，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以解決．如圖8，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)P就是泵站的選址.理由：如圖9，在直線l上任選一點(diǎn)Q，連接BQ、 A′Q，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，一定有A′B ＜BQ+A′Q，即A′P+BP＜BQ+A′Q，又因?yàn)辄c(diǎn)A、A′關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P、Q都在直線l上，所以AP= A′P，AQ= A′Q，因此AP+BP ＜AQ+BQ，即泵站修在管道上的點(diǎn)P處，可使所用的輸氣管線最短.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。