怎樣解答函數(shù)應(yīng)用題

小學(xué)里，我們學(xué)習(xí)了用算術(shù)方法解應(yīng)用題，進(jìn)入初中之后，我們學(xué)會(huì)了用方程方法解應(yīng)用題，現(xiàn)在我們又學(xué)習(xí)了用函數(shù)解答應(yīng)用題.用算術(shù)方法解應(yīng)用題，關(guān)鍵是列算式;用方程方法解應(yīng)用題，關(guān)鍵是列方程或方程組;用函數(shù)知識(shí)解答應(yīng)用題，關(guān)鍵又是什么呢?關(guān)鍵當(dāng)然是求出蘊(yùn)含于實(shí)際問題中的函數(shù)解析式，然后運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)去解答各種各樣的實(shí)際問題.

下面，我們通過實(shí)例來談?wù)勗鯓舆\(yùn)用一次函數(shù)來解答應(yīng)用題.

例1(2006年臨沂課改區(qū)中考試題)一名考生步行前往考場(chǎng)，10分鐘走了總路程的.估計(jì)步行不能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)，于是他改乘出租車趕往考場(chǎng).他的行程s與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示(假定總路程為1)，則他到達(dá)考場(chǎng)的時(shí)間比一直步行提前了().

(A)20分鐘(B)22分鐘

(C)24分鐘(D)26分鐘

分析:本題由圖象給出已知條件，是圖象信息題.由已知，這位考生步行時(shí)，用10分鐘走了總路程的，如果他繼續(xù)步行走完全程，則需要40分鐘.10分鐘之后，這位考生改乘出租車，要求出他到達(dá)考場(chǎng)總共用了多少時(shí)間，因此我們必需求出10分鐘之后的那段圖象的函數(shù)解析式.由函數(shù)圖象提供的信息，有兩個(gè)點(diǎn)(10，)，(12，)在這個(gè)圖象上，這樣，后一段圖象的解析式可求.

解:設(shè)t≥10時(shí)的函數(shù)圖象解析式為s=kt+b，將兩點(diǎn)(10，)，(12，)代入得:10k+b=，12k+b=，得k=，b=-1.所以s=t-1.

當(dāng)s=1時(shí)，解t-1=1得t=16(分).

這說明，僅需16分鐘，這個(gè)考生可到達(dá)考場(chǎng).如果他一直步行需40分鐘，這位考生提前40-16=24分鐘到達(dá)考場(chǎng).故選(C).

本題也可用算術(shù)方法解:

解法2由圖象知，這位考生乘出租車之后，僅用2分鐘走了全程的，那么出租車走完全程的只要6分鐘，到考場(chǎng)實(shí)際用16分鐘，比一直步行前往提前40-16=24分鐘.選(C).

例2(2006年遵義市中考試題)我市某停車場(chǎng)在“五一”節(jié)這天停放大小車輛共300輛次.該停車場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為:大車每輛次5元，小車每輛次3元.解答下列問題:

(1)寫出“五一”節(jié)這天停車場(chǎng)收費(fèi)總金額y(元)與大車停放輛次x(輛)之間的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果“五一”節(jié)這天停放大車輛次占停車總輛次的15%~35%.請(qǐng)你估計(jì)“五一”節(jié)這天停車場(chǎng)收費(fèi)金額的范圍.

分析:(1)因?yàn)橥＼噲?chǎng)“五一”這天的“收費(fèi)總金額=大車停放收費(fèi)金額+小車停放收費(fèi)金額”，大車停放為x輛，收費(fèi)金額為5x元，小車停放為(300-x)輛，收費(fèi)金額為3(300-x)元，這樣，y與x的函數(shù)關(guān)系式不難求出;(2)當(dāng)x值為總數(shù)300輛次的15%~35%時(shí)，x值的范圍可求，相應(yīng)的y值范圍也可求.

解:(1)由題意知:y=5x+3(300-x)，化簡(jiǎn)得:y=2x+900(0≤x≤300，x為整數(shù)).

(2)300×15%=45，300×35%=105，因此大車停放輛次為45~105輛次.

當(dāng)x=45時(shí)，y=2×45+900=990(元).

當(dāng)x=105時(shí)，y=2×105+900=1110(元).

答:估計(jì)“五一”節(jié)這天停車場(chǎng)收費(fèi)金額為990~1110元之間.

例3(2006年山東臨沂課改區(qū)中考試題)某報(bào)亭從報(bào)社買來某種日?qǐng)?bào)的價(jià)格是每份0.3元，賣出的價(jià)格是每份0.5元，賣不出的報(bào)紙可以按每份0.1元的價(jià)格退還報(bào)社.經(jīng)驗(yàn)表明，在一個(gè)月(30天)里，有20天每天只能賣出150份報(bào)紙，其余10天每天可以賣出200份.設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)必須相同，那么這個(gè)報(bào)亭每天買進(jìn)多少份報(bào)紙才能使每月所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?

分析:設(shè)報(bào)亭每天買進(jìn)x份報(bào)紙，把x設(shè)定在150≤x≤200(x為整數(shù))的范圍，每月可獲利潤(rùn)y元.10天中，如果全賣掉可獲利(0.5-0.3)x×10元，20天中由題意可獲利(0.5-0.3)×150×20元，賣不掉的報(bào)紙?zhí)潛p(0.3-0.1)(x-150)×20元，前兩部分獲利之和減去虧損的部分即為月利潤(rùn).

解:設(shè)該報(bào)亭每天從報(bào)社買進(jìn)報(bào)紙x份，所獲月利潤(rùn)為y元.由題意得:y

=(0.5-0.3)x×10+(0.5-0.3)×150×20-(0.3-0.1)(x-150)×20，化簡(jiǎn)得y=-2x+1200(150≤x≤200).

由于k=-2<0，所以y隨x的增大而減小.

所以當(dāng)x=150時(shí)，y有最大值，其最大值為y=-2×150+1200=900(元).

答:報(bào)亭每天從報(bào)社買進(jìn)150份報(bào)紙時(shí)，每月獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為900元.

例4(2006年長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)區(qū)中考試題)我市某鄉(xiāng)A#65380;B兩村盛產(chǎn)柑桔，A村有柑桔200噸，B村有柑桔300噸.現(xiàn)將這些柑桔運(yùn)到C#65380;D兩個(gè)冷藏倉(cāng)庫(kù)，已知C倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存240噸，D倉(cāng)庫(kù)可儲(chǔ)存260噸;從A村運(yùn)往C#65380;D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從B村運(yùn)往C#65380;D兩處的費(fèi)用分別為每噸15元和18元.設(shè)從A村運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量為x噸，A#65380;B兩村運(yùn)往兩倉(cāng)庫(kù)的柑桔運(yùn)輸費(fèi)用分別為yA元和yB元.

(1)請(qǐng)?zhí)顚懴卤?，并求出yA#65380;yB與x之間的函數(shù)關(guān)系;

(2)試討論A#65380;B兩村中，哪個(gè)村的運(yùn)費(fèi)較少;

(3)考慮到B村的經(jīng)濟(jì)承受能力，B村的柑桔運(yùn)費(fèi)不得超過4830元.在這種情況下，請(qǐng)問怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村運(yùn)費(fèi)之和最小?求出這個(gè)最小值.

分析:這是一個(gè)運(yùn)輸方案的設(shè)計(jì)問題.當(dāng)A村運(yùn)往C倉(cāng)庫(kù)的柑桔重量x(噸)變化時(shí)，yA#65380;yB也隨著變化.第(1)題的表格數(shù)據(jù)的填寫，實(shí)際上是數(shù)據(jù)的梳理和分析過程，為求yA#65380;yB的函數(shù)關(guān)系式作準(zhǔn)備，根據(jù)“運(yùn)費(fèi)=運(yùn)往C村的運(yùn)費(fèi)+運(yùn)往D村的運(yùn)費(fèi)”即可求yA#65380;yB的函數(shù)關(guān)系式;第(2)問是yA與yB值的比較，應(yīng)分別討論yA>yB#65380;yA=yB#65380;yA

解:(1)A村運(yùn)往D處(200-x)噸，B村運(yùn)往C處(240-x)噸，運(yùn)往D處為:260-(200-x)=60+x噸.

所以yA=20x+25(200-x)=-5x+5000(0≤x≤200);

yB=15(240-x)+18(60+x)=3x+4680 (0≤x≤300).

(2)當(dāng)yA=yB時(shí)，由-5x+5000=3x+4680，得x=40(噸);當(dāng)yA>yB，由-5x+5000>3x+4680，得x<40，由(1)得0≤x<40;當(dāng)yA40，由(1)得40

答:當(dāng)x=40時(shí)，A#65380;B兩村的運(yùn)費(fèi)相等;當(dāng)0≤x<40時(shí)，A村運(yùn)費(fèi)較大;當(dāng)0

(3)當(dāng)yB≤4830時(shí)，解3x+4680≤4830，得x≤50.

設(shè)兩村運(yùn)費(fèi)之和為y(元)，由y=yA+yB=-5x+5000+(3x+4860)=-2x+9680，又因?yàn)?≤x<50，函數(shù)y=-2x+9680隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=50時(shí)，y有最小值:y=-2×50+9680=9580(元).

答:當(dāng)A村調(diào)往C倉(cāng)庫(kù)柑桔為50噸，調(diào)往D倉(cāng)庫(kù)為150噸，B村調(diào)往C倉(cāng)庫(kù)為190噸，調(diào)往D倉(cāng)庫(kù)為110噸時(shí)，兩村的運(yùn)費(fèi)之和最小，最小運(yùn)費(fèi)為9580元.

從以上幾個(gè)比較典型的例子的解答中，我們可歸納出解答函數(shù)應(yīng)用題的基本方法是:

(1)仔細(xì)審題.理清實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，特別是找已知條件中兩個(gè)變量之間的變化狀況#65380;變化規(guī)律，找出聯(lián)系這兩個(gè)變量關(guān)系的一個(gè)相關(guān)量，為建立函數(shù)關(guān)系式作好準(zhǔn)備.

(2)設(shè).將實(shí)際問題中相互制約的兩個(gè)變量設(shè)為x#65380; y(當(dāng)然也可設(shè)為其他字母;題意中已設(shè)的，這一步可省).

(3)列.列出x#65380; y之間的關(guān)系式，化簡(jiǎn)，寫成用x表示y的式子;必要時(shí)，確定自變量x的取值范圍(在不少實(shí)際問題中，這個(gè)范圍非常重要).

(4)解.運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)(或者畫出相應(yīng)的圖象)，針對(duì)實(shí)際問題提出的解題目標(biāo)，作出解答.

(5)答.檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際，寫出完整的答句.

審#65380;設(shè)#65380;列#65380;解#65380;答，這幾步，不也正是列方程解答應(yīng)用題的基本步驟和方法嗎?上述幾步中，分析是基礎(chǔ)，列函數(shù)關(guān)系式往往是解答的關(guān)鍵!

“本文中所涉及到的圖表#65380;公式#65380;注解等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀”