三角形內(nèi)角和的探索

小學(xué)里我們已經(jīng)用拼圖(如圖1)的方法得出:

三角形3個內(nèi)角的和等于180°.

現(xiàn)在我們一起來探索證明這一結(jié)論的其他方法.

方法一：如圖2（1），木條a與木條b平行，則有∠1+∠2=180°.

如果將木條a繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動，使它與木條b相交于點(diǎn)C，如圖2（2），則∠2被分成兩個角∠3和∠4，由平行線的性質(zhì)知∠4=∠5.于是，在△ABC中，有∠1+∠3+∠5=∠1+∠3+∠4=∠1+∠2=180°.

由此可見，利用平行線可以探索出三角形的內(nèi)角和，但在圖1（1）的△ABC中并不存在平行線，怎么辦？我們可以添加平行線達(dá)到目的.

方法二：如圖3，延長BC到D，在△ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊，作∠1=∠A，于是CE∥BA，得∠B=∠2.

又因?yàn)椤?+∠2+∠ACB=180°，

所以∠A+∠B+∠ACB=180°.

方法三：如圖4，過點(diǎn)A作EF∥BC，則∠1=∠B，∠2=∠C.

又∠1+∠BAC+∠2=180°，

所以∠BAC+∠B+∠C=180°.

方法四：如圖5，過點(diǎn)A作EF∥BC，延長BA、CA，則∠1=∠C，∠3=∠B.又∠2=∠BAC，∠1+∠2+∠3=180°.所以，∠BAC+∠B+∠C=180°.

方法五：如圖6，在BC上取點(diǎn)D，連結(jié)AD，則∠BAC=∠1+∠2.過B作BE∥AD，過C作CF∥AD，則BE∥CF.

所以∠1=∠3，∠2=∠4.

而∠3+∠ABC+∠ACB+∠4=180°，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠1+∠2+∠ABC+∠ACB=180°.

方法六:如圖7，在BC上任取一點(diǎn)D，過D作DE∥AB，與AC交于E，作DF∥AC，與AB交于F，則∠1=∠C，∠2=∠B，∠3=∠4，∠4=∠A.易知∠3=∠A，而∠1+∠2+∠3=180°，故∠A+∠B+∠C=180°.

當(dāng)然D點(diǎn)也可以取在三角形的內(nèi)部，請同學(xué)們自己證明.

以上幾種方法（除方法五外）是在把三角形紙板的三個內(nèi)角剪下拼在一起，構(gòu)成一個平角的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，特點(diǎn)是添作平行線，運(yùn)用平行線的性質(zhì)以及等量代換而完成證明.下面還有一種十分有趣的方法，不直接從內(nèi)角考慮，而從外角入手，運(yùn)用運(yùn)動的觀點(diǎn)來解決問題.

方法七：如圖8，設(shè)AB邊上任一點(diǎn)P處有一個人，面向B點(diǎn)前進(jìn)，到達(dá)B點(diǎn)后轉(zhuǎn)動一個角度∠1，面向C點(diǎn)前進(jìn)，到達(dá)C點(diǎn)后再轉(zhuǎn)動一個角度∠2，再面向A點(diǎn)前進(jìn)，到達(dá)A點(diǎn)后再轉(zhuǎn)動一個角度∠3，最后又回到P點(diǎn)，仍面向B點(diǎn)站立，那么這個人在這個過程中共轉(zhuǎn)了一周，即∠1+∠2+∠3=360°.

而∠1=180°-∠ABC，∠2=180°-∠ACB，∠3=180°-∠BAC.

所以∠1+∠2+∠3=540°-（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=360°，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°.

你還有其他方法嗎？請把你的想法寄到《初中生世界》編輯部來，與大家進(jìn)行交流.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文