全等三角形開放性試題的特點(diǎn)

劉金江

開放性數(shù)學(xué)問題有利于激發(fā)我們的創(chuàng)新意識(shí)，啟迪創(chuàng)新思維，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，是中考命題的熱點(diǎn).本文舉例說明全等三角形開放性題的特點(diǎn).

一、條件開放

給出部分條件和問題結(jié)論，要求我們探索該結(jié)論成立的條件，因使結(jié)論成立的條件往往不惟一，這就是條件開放題.它要求我們從結(jié)論出發(fā)，逆向、多角度分析問題.

例１如圖１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，ＣＥ⊥ＡＢ，垂足分別為Ｄ、Ｅ，ＡＤ、ＣＥ交于點(diǎn)Ｈ，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使△ＡＥＨ≌△ＣＥＢ.

分析：由題意知，在△ＡＥＨ、△ＣＥＢ中，∠ＥＡＨ＝∠ＥＣＢ，∠ＨＥＡ＝∠ＢＥＣ，只要再加一條對(duì)應(yīng)邊相等的條件即可，因此添加的條件可為ＡＥ＝ＣＥ或ＥＨ＝ＥＢ或ＡＨ＝ＣＢ.

評(píng)點(diǎn)：這道題要求我們?nèi)嬲莆杖热切蔚闹R(shí)，且具有較強(qiáng)的分析能力、推理能力.這類題改變了被動(dòng)地利用條件解題的思路，要求大家主動(dòng)獲取條件，進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí).

二、結(jié)論開放

給出條件，要求根據(jù)條件探索結(jié)論，由于符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性，這就是結(jié)論開放題.這類題要求我們進(jìn)行大膽合理的猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論.

例２如圖２，若ＡＣ、ＢＤ、ＥＦ兩兩互相平分于點(diǎn)Ｏ，請(qǐng)寫出圖中的一對(duì)全等三角形：.（只需寫一對(duì)即可）

分析：不難發(fā)現(xiàn)圖２中有多對(duì)全等三角形．如△ＡＤＯ≌△ＣＢＯ，△ＤＯＦ≌△ＢＯＥ，△ＤＯＣ≌△ＢＯＡ，△ＡＤＣ≌△ＣＢＡ，△ＦＯＣ≌△ＥＯＡ.

例3如圖３，Ｄ是ＡＣ上一點(diǎn)，ＢＥ∥ＡＣ，ＢＥ＝ＡＤ，ＡＥ分別交ＢＤ、ＢＣ于點(diǎn)Ｆ、Ｇ，∠１＝∠２.

問圖中哪個(gè)三角形與△ＦＡＤ全等？并證明你的結(jié)論.

解：△ＦＥＢ≌△ＦＡＤ.

證明：∵ＡＤ∥ＢＥ，

∴∠１＝∠Ｅ.

又∵∠ＥＦＢ＝∠ＡＦＤ，ＢＥ＝ＡＤ，

∴△ＦＥＢ≌△ＦＡＤ.

評(píng)點(diǎn)：這類問題讓我們體會(huì)到同一條件下可以得到多種結(jié)果，能培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性.解題時(shí)要注意題后括號(hào)中的附加說明.

三、策略開放

例4此題有Ａ、Ｂ、Ｃ三類題目，其中Ａ類題４分，Ｂ類題６分，Ｃ類題８分，請(qǐng)你任選一類證明，多證明的題目不記分.

（Ａ類）已知：如圖４，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ.求證：∠Ｂ＝∠Ｃ.

（Ｂ類）已知：如圖５，ＣＥ⊥ＡＢ于點(diǎn)Ｅ，ＢＤ⊥ＡＣ于點(diǎn)Ｄ，ＢＤ、ＣＥ交于點(diǎn)Ｏ，且ＡＯ平分∠ＢＡＣ.求證：ＯＢ＝ＯＣ.

（Ｃ類）已知：如圖６，△ＢＤＡ、△ＨＤＣ都是等腰直角三角形，且點(diǎn)Ｄ在ＢＣ上，ＢＨ的延長線與ＡＣ交于點(diǎn)Ｅ，請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形，并寫出證明過程.

證明：（Ａ類）在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中，

ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝∠Ａ，ＡＤ＝ＡＥ，

∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ，即∠Ｂ＝∠Ｃ.

證明：（Ｂ類）∵ＡＯ平分∠ＢＡＣ，ＣＥ⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＣ，

∴ＯＥ＝ＯＤ.

在△ＢＯＥ和△ＣＯＤ中，

∵∠ＯＥＢ＝∠ＯＤＣ＝９０°，ＯＥ＝ＯＤ，∠ＢＯＥ＝∠ＣＯＤ，

∴△ＢＯＥ≌△ＣＯＤ，即ＯＢ＝ＯＣ.

解：（Ｃ類）△ＢＤＨ≌△ＡＤＣ.

證明：∵△ＢＤＡ、△ＨＤＣ都是等腰直角三角形，

∴ＢＤ＝ＡＤ，∠ＢＤＨ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＨＤ＝ＣＤ.

∴△ＢＤＨ≌△ＡＤＣ.

評(píng)點(diǎn)：這類試題可以滿足不同水平、不同個(gè)性同學(xué)的需要，這是尊重個(gè)性差異，“讓不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的人在數(shù)學(xué)上都有平等發(fā)展”的一種嘗試和探索.由于需對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)掌握情況進(jìn)行一次反思后才能作出選擇，促進(jìn)了我們認(rèn)知能力的發(fā)展.