數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)化

歐陽維誠(chéng)

晚唐詩人杜荀鶴的“桑柘廢來猶納稅，田園荒盡尚征苗”，高度集中地揭露了封建統(tǒng)治者對(duì)農(nóng)民的巧取豪奪、敲骨吸髓的行為.詩人這種精選典型材料、省略次要情節(jié)、把深刻的社會(huì)矛盾集中在一聯(lián)中凸現(xiàn)出來的寫作風(fēng)格，對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)很有啟發(fā).

在解數(shù)學(xué)題時(shí)，有時(shí)題目的條件分散復(fù)雜，為了抓住要領(lǐng)，應(yīng)該學(xué)習(xí)杜荀鶴寫詩的辦法，盡量簡(jiǎn)化那些不必要的條件，高度濃縮那些次要條件，把題目的條件高度集中，讓它在一個(gè)較小的范圍凸現(xiàn)出來.這樣，我們就容易抓住主要矛盾，迅速找到題解的途徑.

這類問題，在各種級(jí)別的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中最容易碰到.

安徽省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽就有這樣一道試題：

一條長(zhǎng)為ｎ的線段分成ｎ段，兩個(gè)端點(diǎn)分別染上了紅色或藍(lán)色，其余的分點(diǎn)任意染成紅色或藍(lán)色.如果一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的顏色不同就叫作標(biāo)準(zhǔn)線段，否則稱為非標(biāo)準(zhǔn)線段.證明：不管你怎樣給分點(diǎn)著色，只要兩個(gè)端點(diǎn)的顏色不同，標(biāo)準(zhǔn)線段就一定有奇數(shù)條.

這個(gè)問題的條件是復(fù)雜的，線段的長(zhǎng)度是一個(gè)可變的整數(shù)，ｎ個(gè)分點(diǎn)（除了兩個(gè)端點(diǎn)外）的著色又是任意的．如果不把條件高度地集中在較小的范圍內(nèi)凸現(xiàn)出來，就很難抓住問題的實(shí)質(zhì).

如圖１，假定ＡＢ是一條長(zhǎng)度為ｎ的線段，端點(diǎn)Ａ被染成了藍(lán)色，端點(diǎn)Ｂ被染成了紅色，其余中間的點(diǎn)Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌ等被任意染成了紅色或藍(lán)色.

問題的焦點(diǎn)是要求出標(biāo)準(zhǔn)線段是奇數(shù)條還是偶數(shù)條.因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)線段只與它的兩個(gè)端點(diǎn)的顏色有關(guān)，與它的長(zhǎng)短無關(guān)．因此，只要兩個(gè)端點(diǎn)不同色的線段就是標(biāo)準(zhǔn)線段.現(xiàn)在我們?cè)O(shè)想在給各分點(diǎn)染色的時(shí)候是從左至右逐個(gè)染色的，首先給Ａ染上了藍(lán)色，要想得到一條標(biāo)準(zhǔn)線段，一定要換一種顏色才能做到.因此，換了幾次顏色就得到幾條標(biāo)準(zhǔn)線段.當(dāng)我們把那些與前一個(gè)點(diǎn)顏色相同的點(diǎn)去掉之后，并不影響標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù).這時(shí)，圖１就變成了圖２（打“×”的地方表示去掉的點(diǎn)）．

要求出標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)，只要數(shù)一數(shù)圖２中改變顏色的次數(shù)，由于圖２中的點(diǎn)仍然是任意的，還有必要加以濃縮：

從圖３、圖４中可以看出，任何兩點(diǎn)之間，不管它們中間有多少點(diǎn)，也不管這些點(diǎn)的顏色改變了多少次，但是有一點(diǎn)是很清楚的：如果兩點(diǎn)之間改變了偶數(shù)次顏色，換句話說，兩點(diǎn)之間包含了偶數(shù)條標(biāo)準(zhǔn)線段的話，這兩點(diǎn)一定是同色的；反之，如果兩點(diǎn)之間改變了奇數(shù)次顏色，即兩點(diǎn)之間包含奇數(shù)條標(biāo)準(zhǔn)線段，則這兩點(diǎn)一定是異色的.因此，我們?cè)趫D５中，從左邊的Ａ點(diǎn)開始，把任何一個(gè)與Ａ同色的點(diǎn)（例如Ｅ）之間的一段切掉之后，一定切去了偶數(shù)條標(biāo)準(zhǔn)線段.如果原來有奇數(shù)條標(biāo)準(zhǔn)線段，剩下的一節(jié)也仍然有奇數(shù)條標(biāo)準(zhǔn)線段，反過來也一樣.

如圖５，當(dāng)我們切去ＡＢ上的ＡＥ一節(jié)后，因Ａ、Ｅ兩點(diǎn)是同色的，所以，原來ＡＢ上標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)與剩下一節(jié)ＥＢ上標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)，奇偶性是相同的.類似的，我們可以逐漸地切去ＥＨ、ＨＬ等，剩下的一節(jié)都與原來的ＡＢ上標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)有相同的奇偶性．最后既然只剩下一條標(biāo)準(zhǔn)線段ＬＢ，１是一個(gè)奇數(shù)，所以，原來ＡＢ上的標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)也一定是奇數(shù).

其實(shí)，在圖５中，因?yàn)椋咙c(diǎn)與Ｌ點(diǎn)同色，一開始我們就可以一次把ＡＬ切掉，只剩下一條標(biāo)準(zhǔn)線段ＬＢ，就推出了我們所要的結(jié)論.

我們?cè)倏磸V東省的一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題：

證明：在任意５個(gè)正整數(shù)中，一定可以找到３個(gè)數(shù)，使它們的和是３的倍數(shù).

這個(gè)問題的困難之處在于所給的５個(gè)正整數(shù)是任意的，它們可大可小，可異可同，討論起來很不方便.我們可以先抓住一個(gè)要點(diǎn)：

將３個(gè)正整數(shù)中的任何幾個(gè)去掉３的若干倍數(shù)之后，并不影響剩下的３個(gè)數(shù)之和是不是３的倍數(shù).

例如，我們用圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)來表示３個(gè)正整數(shù)，它們用３除的余數(shù)用方框內(nèi)的圓點(diǎn)表示.

現(xiàn)在將３個(gè)數(shù)中的幾個(gè)去掉一些３的倍數(shù)，剩下的３個(gè)數(shù)是：

原來的三個(gè)數(shù)之和３５＋１９＋２７＝８１，是３的倍數(shù)；新得到的三數(shù)之和１７＋７＋２１＝４５，仍然是３的倍數(shù).

根據(jù)這個(gè)道理，當(dāng)我們把三個(gè)數(shù)中所有３的倍數(shù)都去掉之后，剩下的余數(shù)就只有０，１，２三種，這個(gè)問題就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)更為簡(jiǎn)單的問題：

有５個(gè)數(shù)，它們分別是０，１，２三個(gè)數(shù)中的某一個(gè)．證明：一定可以從它們中找到３個(gè)數(shù)，使其和為３的倍數(shù).

現(xiàn)在的證明就很容易了：５個(gè)數(shù)中或者０，１，２三者都有，那么０＋１＋２＝３，就是３的倍數(shù).或者最多只有兩種數(shù)，那么一定有一種數(shù)不少于３個(gè)，這３個(gè)數(shù)的和就是３的倍數(shù).