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    數(shù)學中的排序原理

    2004-05-26 13:33歐陽維誠
    初中生·作文 2004年5期
    關(guān)鍵詞:排序圍墻建筑物

    歐陽維誠

    軍事上“擒賊先擒王”的思想,對于解數(shù)學題非常有用。在研究數(shù)學問題時,常常要從考慮的對象中找到一個為首的元素,找出第一個為首的元素以后,再找第二個為頭的,繼續(xù)下去,第三個、第四個……用數(shù)學術(shù)語來說,就是把一個集合的所有元素,按某種原則依次排隊,排隊之后,常常有助于發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。在數(shù)學中稱這一思想為排序原理。

    在許多數(shù)學問題中涉及一些可用數(shù)量來刻畫的元素,如數(shù)的大小、線段的長短、角的大小等等。對于集合而言,不考慮元素之間的順序。如果它們之間沒有順序,雜亂無章,往往會使許多有利于解題的條件被隱蔽起來,給解題帶來困難。因此,有經(jīng)驗的解題者在解題之前,總是先考慮一下有沒有必要給所涉及的集合的所有元素排一個順序,無論是自然的順序還是人為的順序,常常都有助于解題。

    請看下面一個簡單的例子:

    有10人同時到一個服務(wù)窗口辦事,假定這10人需要服務(wù)的時間都是互不相同的,應該如何安排這10人服務(wù)的次序,才能使他們10人總的花費時間(包括每人被服務(wù)的時間和等待服務(wù)的時間)最少?

    我們不妨把這10人依次編號為

    1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。

    他們需要服務(wù)的時間依次是

    1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10。

    因為他們需要服務(wù)的時間互不相同,把需要服務(wù)時間最多的那個當作“王”,不妨假定a10先“擒”出來。a10取出之后,剩下的9個人又有一個需要服務(wù)時間最長的“王”,設(shè)它是a9,把a9“擒”出來。繼續(xù)下去,每次“擒”住一個服務(wù)時間最長的“王”,設(shè)依次為87,…,a1。

    這樣,我們用逐步“擒王”的辦法,把10個人依次需要的服務(wù)時間排成一個從大到小的次序:a10>a9>a8>a7>a6>a5>a4>a3>a2>a1。直覺告訴我們,應該讓服務(wù)時間最短的人先去接受服務(wù)。這樣開始一齊等的人多,但服務(wù)的時間短,總的等待時間就少一些。到了后面,服務(wù)的時間越來越長,但同時等待的人也越來越少,總時間會短一些。

    事實上也的確如此,用數(shù)學方法可以嚴格證明。

    再看下面的例子:

    某社區(qū)有若干幢建筑物,任何兩幢的高度都不一樣,任何兩幢的距離都不超過它們的高度之差,如果最高的一幢建筑物的高度不超過100米,那么我們一定可以用一道不超過200米的圍墻(不包括建筑物本身的長度)把這些建筑物圍起來。

    這個問題乍看起來似乎難以想像,這些建筑物的數(shù)量不明,布局未定,遠近高低不同,圍墻如何修法?我們可以請排序原理來幫忙。

    假設(shè)共有n幢建筑物,把它們從高到矮排一個順序,設(shè)它們的高度依次是

    100≥a1>a2>a3>…>an。

    如圖1所示,圍墻從a1筑到a2,再從a2到a3,a3到a4,…,最后從an再回到a1。由于任何兩座建筑物之間的距離都不超過它們的高度之差,所以圍墻從a1到an的長度不會超過(a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a4)+…+(an-1-an)。

    (a1-a2)+(a2-a3)+(a3-a4)+…+(an-1-an)=a1-an<a1≤100。整個圍墻是從a1到an的兩倍,所以圍墻的長度不會超過200米,把所有建筑物都圍住了。

    最后,我們再利用排序原理,做一個簡單的數(shù)學游戲。在9張小卡片上寫下9個不同的整數(shù)a1,a2,…,a9。甲、乙兩人輪流取一張小卡片放在一個3×3的方格棋盤中的某一格,每一小格放一張卡片,不準多放,也不準不放。放完后,對甲計算最上一行和最下一行中的6張卡片上的6數(shù)之和,對乙則計算最左及最右兩列的6數(shù)之和,和數(shù)大者為勝,問誰有獲勝的策略?

    由圖2可知,在計算勝負時,打“○”的中間一格里的數(shù)根本不用,因而不起作用。打“×”的四個小方格里的數(shù),是甲、乙的公共數(shù),所以不影響勝負。真正對甲、乙的勝負起作用的只有A、B、C、D四格中的數(shù)。最簡單的取勝思想自然是挑最大的數(shù)給自己,挑最小的數(shù)給對方。所以,首先要把9個數(shù)的大小排成一個順序。

    不妨假定9個數(shù)的大小順序是

    1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9。

    我們只要考慮兩個最大的a8、a9和兩個最小的a1、a2就可以了,這要分三種情況討論:

    (1)若a9-a8>a2-a1,這時先放者甲只要將最大的a9放在A格內(nèi),那么B格放的即使是最小的a1,也會有A+B=a9+a1>a2+a8,甲必勝。

    (2)若a9-a8>a2-a1,這時先放者甲可將最小的a1送給乙,放在C格處,下一步乙即使把最大的a9放在D內(nèi),也會有C+D=a1+a9<a2+a8,甲必勝。

    (3)若a9-a8>a2-a1,甲未必能勝,乙最多能和。因為若甲第一步取最大的a9置于A,第二步乙即可取最小的a1放在B處。第三步、第四步,甲、乙都只能在C、D兩格內(nèi)分別放下a2和a8,總有A+B=a9+a1=a2+a8=C+D,甲、乙不分勝負。同樣的,若第一步甲將最小的a1送進對方的C處,第二步乙即可將最大的a9放在自己的D格內(nèi),這時仍會有C+D=a1+a9=a2+a8=A+B,也不分勝負。所以,在這種情況下,如果雙方不發(fā)生錯誤的話,總是和局。不發(fā)生錯誤的關(guān)鍵,就是要牢牢抓住最大的或最小的“王”。

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