數(shù)理邏輯中的歸納定義和歸納證明

孫明湘　沈旭明

摘要：運用數(shù)學(xué)歸納法能證明一個表示邏輯定理的全稱命題的真實性，即通過證明一集合對象具有某性質(zhì)，從而證明該集合所有對象具有該性質(zhì)，其原因在于用歸納法證明的集必須首先是一個用歸納定義給出的歸納集，它是與自然數(shù)集相同的最小歸納集，它具有封閉性，即：如果該集合的初始元有某性質(zhì)，并且有一生成函數(shù)使得在初始元基礎(chǔ)上，可不斷生成新的元，如果這些生成元也有該性質(zhì)，那么由生成元運用生成函數(shù)所生成的其他生成元，也有該性質(zhì)，于是可斷定，該集合中所有元都有該性質(zhì)。歸納集所具有的這種封閉性質(zhì)，就是數(shù)學(xué)歸納法原理。它是一前件真而后件不能假的蘊涵命題，因此歸納證明實際是通過證明它的前件(奠基和歸納兩步)真，從而證明后件(歸納命題)必然真的演繹證明。關(guān)鍵詞：歸納集；歸納定義；封閉性；歸納證明中圖分類號：B813

文獻標識碼：A

文章編號：1672—3104(2004)01—0016—05