巧哉，質(zhì)數(shù)幻方

肖樂(lè)農(nóng)

幻方的研究由來(lái)已久，古老的洛書(shū)是研究幻方的最早神話.由于幻方妙趣橫生，吸引著眾多的愛(ài)好者，研究成果層出不窮.幻方的種類形形色色：回文幻方、積幻方、雙重幻方、六角幻方、馬步幻方……每一款都構(gòu)思奇巧，但最巧的是質(zhì)數(shù)幻方.

質(zhì)數(shù)是一種很難駕馭的數(shù).它分布混亂，無(wú)窮無(wú)盡.可是，數(shù)學(xué)家們竟然使質(zhì)數(shù)與具有均衡對(duì)稱美的幻方聯(lián)起手來(lái)，巧妙地構(gòu)造出了一個(gè)個(gè)質(zhì)數(shù)幻方.

你看，圖１就是一個(gè)三階質(zhì)數(shù)幻方.它不但９個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù)，而且每行、每列及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于２６７.我們來(lái)看看構(gòu)成這個(gè)幻方的９個(gè)質(zhì)數(shù)：

１１，７１，１３１；２９，８９，１４９；４７，１０７，１６７.

原來(lái)這９個(gè)質(zhì)數(shù)可分為３組，每組相鄰兩數(shù)的差（后一個(gè)減前一個(gè)數(shù)）都是６０，每一組的三個(gè)質(zhì)數(shù)都不在同一行、同一列.

怎么樣？挺巧吧．其實(shí)，真正的巧事還在后頭.

有一次，一位宮廷數(shù)學(xué)家領(lǐng)到了一年的工資，共１ ３５０個(gè)銀元.他做游戲似地將這些銀元分成不相等的９堆，然后擺成一個(gè)幻方，并給國(guó)王看了.這是一位很喜歡研究質(zhì)數(shù)和幻方的國(guó)王，他看后非常贊賞，但覺(jué)得這些堆中沒(méi)有一堆是質(zhì)數(shù)，有些遺憾.

這時(shí)數(shù)學(xué)家對(duì)國(guó)王說(shuō)：“只要國(guó)王獎(jiǎng)賞我９個(gè)銀元，我在每堆中各加１個(gè)銀元，幻方中的每一堆銀元就都是質(zhì)數(shù)了.”國(guó)王發(fā)現(xiàn)果真如此，就高興地獎(jiǎng)賞了數(shù)學(xué)家９個(gè)銀元，并加到幻方之中.

站在旁邊的一個(gè)宮女對(duì)數(shù)學(xué)家說(shuō)：“如果我在每一堆中拿走相同數(shù)目的銀元，使幻方中的每一堆仍是質(zhì)數(shù)，您同意我?guī)ё吣贸鰜?lái)的銀元嗎？”數(shù)學(xué)家覺(jué)得宮女不懂?dāng)?shù)學(xué)，再加上這事也不太可能，便答應(yīng)了.于是，宮女從每堆中拿走２個(gè)銀元.這時(shí)，國(guó)王和數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，幻方中剩下的每堆銀元確實(shí)都是質(zhì)數(shù)，那１８?jìng)€(gè)銀元只好讓宮女帶走了.

那么，數(shù)學(xué)家一開(kāi)始擺的幻方是什么樣呢？以后兩次變化又是怎么樣呢？請(qǐng)看如圖２、圖３、圖４的三個(gè)幻方：

原來(lái)后兩個(gè)質(zhì)數(shù)幻方是由９對(duì)孿生質(zhì)數(shù)構(gòu)成的，一個(gè)由每對(duì)孿生質(zhì)數(shù)中較大的那個(gè)質(zhì)數(shù)構(gòu)成，另一個(gè)由每對(duì)孿生質(zhì)數(shù)中較小的那個(gè)質(zhì)數(shù)構(gòu)成.

質(zhì)數(shù)幻方的排序之巧，構(gòu)造之難，挑戰(zhàn)著眾多的數(shù)學(xué)家：美國(guó)數(shù)學(xué)科普大師馬丁·加德納曾懸賞１００美元，獎(jiǎng)給第一位利用連續(xù)質(zhì)數(shù)造出三階幻方的人.注意，９個(gè)質(zhì)數(shù)必須是連續(xù)的，中間一個(gè)也不許跳過(guò).這道題可夠難的，沒(méi)有點(diǎn)功力根本無(wú)法辦到.

俗話說(shuō)重賞之下必有勇夫（可惜不是什么重賞）．１９８８年，美國(guó)的一位幻方愛(ài)好者納爾遜，利用加利福尼亞大學(xué)的克雷超級(jí)計(jì)算機(jī)，通過(guò)巧妙的程序設(shè)計(jì)，一舉解決了這個(gè)難題，并且一下子提供了２２個(gè)答案，超額完成了任務(wù).其中數(shù)字最小的一個(gè)如圖５所示.

納爾遜坦言，他的程序并不能證明這是最小解，但要找到更小解的概率幾乎接近于零.