是知識的問題還是舉例的問題

肖新漢

《人民教育》2001年第1期在“教學平臺”的“聚焦”欄目內發(fā)表了舒華的《設計適合學生的數(shù)學教育——質疑三“經典之作”》（以下簡稱《設》）一文，提出了當今數(shù)學教育改革必須面對的一個重大課題。筆者研究小學數(shù)學教育二十多年，確實感到當今的數(shù)學教育有許多不適合學生的地方（當然也包括文中提到的三個“經典之作”）。同時我們也要注意到，是不是為了適合學生，而放棄數(shù)學的最基本教育呢？怎樣設計適合學生的數(shù)學教育呢？

知識體系不宜隨意改動

近一段時間，隨著《教學大綱（修訂稿）》的出臺和《義務教育國家數(shù)學課程標準》的討論。許多專家指出：現(xiàn)行的數(shù)學教育過于繁難;有些知識的學習對今后的學習和生活用處不大;有些數(shù)學教育脫離了學生的生活實際等。廣大數(shù)學教育工作者對這些想法都是表示贊同的，也要求改進當今的數(shù)學教育。

但是，有些提法使大家感到茫然。如在整數(shù)的四則計算中，“加、減”的運算意義只要求學生從整體與部分的方面去理解，不必要從兩數(shù)之間的比較去理解（《設》文中也提到只要計算正確，不必知道為什么）。“乘、除”運算的意義也沒有必要讓學生理解乘數(shù)與被乘數(shù)的關系和理解除法的兩種分法（《設》文中提到是“人為制造的難點”）。筆者認為，這些知識不直隨意改動。

一、知識體系的編排要注意它的完整性。既然《大綱》已經確定整數(shù)的四則運算”是學生必須掌握的基礎知識，按近似代數(shù)的觀點，它應該是一個完整的知識體系。特別是對今后學習必備的基礎知識更要注意它的完整性，如對伽、減”意義的理解上，從兩數(shù)間的比較去理解更具有廣泛的意義，同時還滲透了“一一對應”的思想。乘法是加法的簡便計算，是什么樣的伽法”簡便運算？是“求相同加數(shù)和的”加法的簡便運算，我們規(guī)定：相同的加數(shù)作被乘數(shù)，相同加數(shù)的個數(shù)作乘數(shù)，充分體現(xiàn)數(shù)學的嚴密性，也是數(shù)學教育要培養(yǎng)學生的能力之一。除法的兩種分法是客觀存在的事實，它是今后的研究常見三量關系（如時間、速度、距離）的基礎，怎么能隨意改動呢。

二、知識體系的教學應注意它的完美性。筆者認為：我們今天的數(shù)學教育整數(shù)的四則計算）不是少講一點什么的問題，而是引導學生完整地了解它的知識體系，領悟它的美感不夠的問題。我們?yōu)槭裁床灰龑W生從一個一個疊加的自然數(shù)——“0”和“十進制”整數(shù)）——用數(shù)字和“+、-”符號表示事物整體與部分的關系、表示部分與部分之間的多少關系——用“×、÷”表示事物整體與有規(guī)律（相同數(shù)量）的部分之間關系、部分與部分的倍數(shù)關系來認識整數(shù)的四則計算，通過了解整數(shù)四則計算的形成過程，領悟數(shù)學是怎樣把復雜的事物用最簡潔語言和符號來表示的“美”（北京馬芯蘭老師就是這樣進行數(shù)學教育的）。

而按教材是從數(shù)的大小“十以內”、“二十以內”、“萬以內”……來認識整數(shù)的四則運算。到四年級才確定“四則”的意義。實際上，學生接觸“+”“-”“×”“÷”的符號時就了解了它的意義，不然怎樣解答整數(shù)四則應用題?，F(xiàn)今有人說教師把乘法中的被乘數(shù)和乘數(shù)區(qū)分得太過分了（確實沒有必要），是誰造成的呢？學生從一年級第二學期就接觸乘法，到了四年級才學乘法交換律。這之間讓學生多次學習乘法的計算和應用，教師引導學生學什么？特別是九年義務教育五年制第七冊（P25）“乘法的意義和運算定律”這節(jié)教材的安排，先用五排六行雞蛋講乘法的意義，中間又講因數(shù)是1和0的乘法，再講乘法的交換律。為什么不在講了乘法的意義后就講乘法交換律呢？這是順理成章的事情。如果我們從一年級第二學期講乘法的初步認識時，就介紹乘法交換律，教師就不會過分強調乘數(shù)和被乘數(shù)的區(qū)別。

當《大綱》確定了小學數(shù)學知識內容（當然是今后學習生活必須的），就應該按知識體系來進行數(shù)學教育，這樣在學生理解和掌握新知的同時，給了學生參與知識形成過程的空間;能提高學生學習數(shù)學的興趣;能增強學生的數(shù)學意識;培養(yǎng)學生的推理能力，培育學生的創(chuàng)新精神。除此以外，還有一個如何從學生生活實際出發(fā)，引導學生認識知識體系的問題。

舉例也不能隨心所欲

舉例是進行適應學生的數(shù)學教育的好方法，僅僅從學生生活實際出發(fā)是不夠的，還應考慮其與知識體系的內在聯(lián)系，是否能反映知識的本質特征。《設》文中提到的三個“經典之作”，筆者認為應該是“經典問題”。它是學生在學習整數(shù)四則計算”中理解的難點，但又是必須理解的問題。其“之作”并沒有解決“經典問題”。為什么？是舉例的問題。在平時的數(shù)學教育中，因舉例不當而使教學效率不高的間題還不少。

一、舉例無特征給學生理解造成了障礙。如《設》文中的第一個例子，“求比一個數(shù)多幾的應用題”的問題。把兩個區(qū)別不大的物體進行比較，紅花與黃花（教材中還有黃狗與花狗），除顏色有區(qū)別外，其功能和本質是一樣的。再加上前面教材也舉過黃花與紅花一共有多少朵的例子，增加了理解難度。另外，把黃花與紅花進行比較在學生的生活中沒有多大的實際意義，學生學習也不感興趣。如果用杯子與蓋子、鋼筆與筆套做例子，學生就容易理解多了。首先這兩個物體的功能區(qū)別非常明顯，其次這兩個物體有密切的聯(lián)系，學生生活實際中經常遇到。教師一邊放幻燈（或擺實物）一邊講故事：小明家來了5位客人，媽媽給每位客人倒了一杯茶，要小華去拿茶杯蓋。小華慌忙中拿了一堆杯蓋，將客人的茶杯一一蓋上，還剩3個杯蓋。大家想一想，小華拿了幾個杯蓋？學生能很快說出：拿了8個杯蓋。接著，要求學生把上面的故事編成一道應用題：“媽媽拿了5個茶杯，小華拿的杯蓋比茶杯多3個。小華拿了幾個杯蓋？”

幻燈片：

列式計算：5+3=8（個）

說思路：把與5個茶杯同樣多的5個杯蓋加上多的3個杯蓋，就是8個杯蓋。

二、舉例不注意前后聯(lián)系給學生理解增加難度?！对O》文中提到的第二、三個例子實際上是同一問題：如何理解除法的意義。在教學實踐中，這是學生學習的難點，而“之作”中的舉例不僅沒有幫助學生理解難點，還增加了理解的難度。對“平均分”的理解，不是緊緊抓住分得的“同樣多”去理解，而是硬性地把學生引導到“一個一個”地分去理解。學生為什么在以后的除法運算中感到試商困難或者從“1”開始一個一個地試商，問題就是受了這種教法的影響。對除法的兩種分法的理解，顯然是重要的（前面已述）。而“之作”在學生初步了解除法時，用應用題分析比較兩種分法異同，確實不妥，學生的感性認識還沒有確立（原有認知結構沒有發(fā)生變化或正在發(fā)生變化）就抽象地分析異同，增加了理解的難度。如果我們用“盒子裝小棒”的辦法來引導學生理解，學生的感性認識就會比較清晰地確立起來。學生準備若干個小盒子和幾十根小木棒，老師讓學生先拿出6根小棒和3個小盒子，問：把6根小棒放在3個小盒子里，要使每個盒子裝得同樣多，每個盒子應該裝幾個？同樣，用3個小盒子裝9根、12根……師：像這樣每個盒子裝得同樣多就叫“平均分”，用“÷”表示平均分。教師再讓學生拿6根小棒（不要拿小盒子），問：如果每個盒子平均裝2根小棒，需要幾個盒子？學生先2根2根地擺，擺成3堆并回答需要幾個盒子，再拿盒子裝……。前面的演示和后面的演示表示平均分小棒，前面是解決每個盒子平均裝幾根的問題，后面是解決需要幾個盒子的問題，這樣，除法的兩種分法的感性認識學生就建立起來了。

三、舉例過于繁雜把簡單問題復雜化。在教學實踐中，有些舉例是用復雜的事例去理解簡單的問題。如認識平行四邊形，許多教師要求學生做一個活動的長方形框架，對角一拉成平行四邊形，再讓學生量四條邊，說說平行四邊形的特征。學生做一個長方形框架難度很大，四條邊的取材不一樣，木條有寬有窄。量的時候，有的量木條的內線，有的量木條的外線，量不出對邊相等。其實，只要學生準備一張長方形的紙（圖一），沿虛線一裁，再拼成一個四邊形（圖二），說說你拼的四邊形有什么特點，很快就認識了平行四邊形的特征。

此后，再用長方形框架或其他實物介紹平行四邊形的作用。

如何設計適合學生的數(shù)學教育，首先要了解數(shù)學教育的知識體系，包括它的內涵和外延，知其所以然。其次要了解學生的生活實際和心理發(fā)展規(guī)律以及原有的認知水平。再通過舉例幫助學生理解知識體系。應該注意，舉例一是不要增加障礙，二是不要增加難度，三是不要復雜，四是不要就事論事。決不能因為舉例不恰當造成學生理解知識困難，而放棄要求學生對必須知識的理解，以求得適合學生的數(shù)學教育。美國教育家布魯納有一句名言：“任何學科的基礎知識，都可以用某種形式教給任何年齡的任何兒童?！边@個“某種形式”至少應有——你能舉出學生日常生活中的而且與“學科的基礎知識”密切相關的實例。