第三屆五四青年智力競(jìng)賽部分試題解答

本屆智力競(jìng)賽，試題全部是智力題，不少試題有多種解法，但有的解法卻巧妙而簡(jiǎn)捷。從這期起，本刊將公布部分試題解答。如有比本刊公布的解法更巧妙、更簡(jiǎn)捷的解法，歡迎把解法寄到編輯部來。對(duì)于本屆競(jìng)賽這樣命題，讀者有什么看法，參加競(jìng)賽的青年有什么感受，都?xì)g迎寫信告訴我們。

第32題

題目:有一堆桃子和甲、乙兩組猴子，甲組有3只猴子，乙組有5只猴子，它們都以為這堆桃子是自己的。當(dāng)甲組猴子來到時(shí)，便把桃子均分為3堆，總是剩兩個(gè)，它吃兩個(gè)，拿一堆便走了。當(dāng)乙組猴子到來時(shí)，便把桃子均分為5堆，總是剩下一個(gè)，它吃一個(gè)，拿一堆走了。這樣，8只猴子都來過之后，至少還剩下多少個(gè)桃子，原有桃子至少有多少個(gè)?

猴子分桃問題是一個(gè)老題目，在世界上已流傳六十多年了。這道題就是根據(jù)老題目改變過來的。

老題目是這樣的:

五猴公有一堆桃。第一個(gè)猴子來了，動(dòng)手把桃均分成五堆，正好剩一個(gè)。它把這一個(gè)吃掉，拿走了五堆中的一堆。

第二個(gè)猴子來了。它不知道剛才的情形，又把桃子均分成五堆，還是多了一個(gè)，它吃了這一個(gè)，拿一堆走了。

以后，每個(gè)猴子來一次，都如此辦理。

問:原來至少有多少桃?最后至少剩多少?

此題解法多種多樣。一個(gè)巧妙而簡(jiǎn)單的方法是:借給猴子們4個(gè)桃。這樣，第一個(gè)猴子來到時(shí)，桃子雖然多了4個(gè)，但它并沒有撈到便宜。因?yàn)樘易觿偤每梢跃殖?堆。它分到的一堆，恰巧等于你沒借給它們4個(gè)桃子時(shí)，它連吃帶拿的數(shù)目。

這樣，第二個(gè)猴子到來時(shí)，桃子還是比你沒借給它們時(shí)多了4個(gè)，又正好均分成5堆。所以，第二個(gè)猴子所得，和原來一樣。

第三、四、五個(gè)猴子來時(shí)，也是如此。

設(shè)原有桃x0個(gè)，借給它們4個(gè)之后是x0+4個(gè)，

來過之后，剩下桃子數(shù)目為

可見(x0+4)應(yīng)當(dāng)是55的整倍數(shù)。由于x0是正數(shù)，故x0十4至少是55=3125，故x0至少為3125—4=3121，而剩下的桃子至少是

改變后的題目解法也不止一個(gè)。最巧妙而簡(jiǎn)單的解法也是借給猴子們幾個(gè)桃子，使每個(gè)猴子來時(shí)恰巧分凈，并且每個(gè)猴子并不比沒借給桃子時(shí)多得。設(shè)想借給它們4個(gè)桃子。這樣，不管哪組猴子到來，都可以分凈，而且每個(gè)猴子都不比原來多得。設(shè)原有桃x0

何，最后總是剩下

個(gè)桃子。故(x0+4)是5533的整倍數(shù)。x0至少應(yīng)當(dāng)是5533-4=84371。最后剩下的至少是4523-4=8188個(gè)桃子。

想到借桃給猴這一招并不容易。能不能老老實(shí)實(shí)地把題目做出來呢?這也是可以的。

設(shè)目前有x個(gè)桃子。甲組猴子來一次，x就被改造成f(x)，f(x)是x的函數(shù)，具體地:

如果不是甲組而是乙組猴子來了，x就變成了g(x)，g(x)是x的另一個(gè)函數(shù):

設(shè)初始桃子數(shù)為x0，甲乙兩組八個(gè)猴子都來一遍，相當(dāng)于f和g在x0上連續(xù)共作用8次，其中f是三次，g是五次。關(guān)鍵是:最后的結(jié)果和f、g作用的先后順序有沒有關(guān)系呢?如果和順序有關(guān)，題目就太復(fù)雜了。你應(yīng)當(dāng)猜到:與順序無關(guān)，即f(g(x))=g(f(x))。驗(yàn)算一下:

果然f與g可交換——最后剩下桃子個(gè)數(shù)與猴子來到的順序無關(guān)!不妨設(shè)甲組三個(gè)先來，乙組的五個(gè)后來，耐心地計(jì)算下列復(fù)合式

g5f3(x))=g〔g〔g〔g〔g〔〔f〔f〔f(x)〕〕〕〕〕〕〕這個(gè)復(fù)合式可以硬算，也可以巧算。巧算方法是把f(x)，g(x)改個(gè)形式:

你試試，用這種形式去算，很快可以算出

這就可以得出和剛才一樣的結(jié)論。

井中

第33題

題目:有許多大小、形狀都相同的長(zhǎng)方形的磚:厚5厘米，寬10厘米，長(zhǎng)20厘米。一個(gè)疊一個(gè)，使上面的磚向前伸出一點(diǎn)來，這樣越疊越高，能伸出多長(zhǎng)距離呢?

最后的答案是出人意料的:只要磚夠多，理論上可以算出，要伸出多長(zhǎng)，就能伸出多長(zhǎng)。

應(yīng)當(dāng)從最簡(jiǎn)單的情形開始考慮。

先看看兩塊磚的情形，當(dāng)然至多只能伸出半磚長(zhǎng)，即伸出10厘米。

最上面的磚叫做第一塊磚，它的重心記作G1G1正在第二塊磚的右端上方，G1到第一塊磚右端的水平距離記作a1，a1也就是第一塊比第二塊多伸出來的長(zhǎng)度。a1=10厘米(如圖)

想在上面再添磚是不行了，但是可以把第三塊磚放在第二塊的下面，設(shè)第一、第二兩塊磚的共同重心

這也是G2與G1的水平距離，記以a2即:a2=5(厘米)。

設(shè)上面幾塊磚的共同重心為Gn，記Gn+1與Gn的水平距離為an+1，我們看an+1至多是多大?

為了穩(wěn)定，過Gn的鉛垂線不能超出下面一塊磚的底面，即:Gn與第n+1塊磚的重心的水平距離不超過半磚長(zhǎng)。這樣，Gn正好和第n+1塊磚右端在同一鉛垂線上時(shí)，Gn+1與Gn的水平距離應(yīng)當(dāng)是半磚

設(shè)共有n+1塊磚，則伸出的總距離為

這里R=〔1og2〕，因而2k≤n這說明，和數(shù)

井中