和文科考生談談數(shù)學復習

趙大悌

今年高考突出了語文、數(shù)學兩科的地位。正如不少理科考生害怕考語文一樣，很多文科考生也擔心數(shù)學考不好。這的確是一個重要的問題。過去幾年不少文科考生對數(shù)學的重要性認識不足，數(shù)學考試的分數(shù)很低，因數(shù)學成績太差而落選的考生也大有人在。正因為如此，我們衷心希望今年參加高考的文科考生，要重視數(shù)學復習，要把數(shù)學復習好，不要重蹈覆轍。

一

文科學生所以要學習數(shù)學，首先是因為數(shù)學能訓練思維。學習文科和學習其他學科一樣，經(jīng)常要注意事物的數(shù)量界限，要善于對感性材料進行抽象分析，思考問題要具有嚴密的邏輯性。而數(shù)學正是關(guān)于邏輯思維的理論，它的特點是抽象、連貫和有邏輯性。學習數(shù)學就可以使我們的思維更有條理、更加連貫、更符合邏輯，從而提高我們的思維品質(zhì)。其次，數(shù)學已經(jīng)在各個領(lǐng)域，包括文科各領(lǐng)域中得到了廣泛的應用，許多數(shù)學的觀念和方法成為社會科學研究的重要工具。因此，文科考生如果沒有基本的數(shù)學知識，是很難適應大學的學習和將來的工作的。

二

從事文科工作的人，數(shù)學主要是作為工具去應用，而不是要求在數(shù)學上有所創(chuàng)見。因此，對文科考生的數(shù)學要求，應該是能理解、會應用，至于靈活性方面，則要求不必太高?；谝陨戏治?，無疑，我們應該確定“狠抓基本”的方針，應該以教育部公布的范圍為依據(jù)，以教材為主要復習用書，而不要搞很多另外的復習資料，不要獵奇式地到處找題亂做。

在復習的內(nèi)容上，要抓住重點。

代數(shù)的數(shù)、式部分，各類數(shù)的概念和運算要熟練掌握，各種式的變形也要熟悉，尤其是因式分解和分母有理化，此外算術(shù)根和絕對值也應給以特別重視；方程部分，列方程（組）、解方程（組）及一元二次方程的判別式和韋達定理一定要掌握；函數(shù)部分，各類函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)要掌握，其中定義域和極值又比較突出；數(shù)列部分，要抓住等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式以及簡單的求極限問題；排列組合、二項式定理、數(shù)學歸納法要理解基本概念并會簡單應用。

平面幾何，要掌握基本概念、定理和基本推理方法；證明題，不要把精力放在過于復雜的問題上；三角法和解析法證明平面幾何問題，尤其是證明教科書上的一些定理，應予以重視。立體幾何，主要由線面的空間位置關(guān)系和面積、體積的計算兩大部分組成。具有一定的空間想象能力、正確地畫出圖形是解決立體幾何問題的關(guān)鍵之一；同時，又要善于把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決，而這方面二面角的平面角的概念和三垂線定理是起到重要作用的，應該引起注意。

三角部分，三角函數(shù)的基本概念是基礎；同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導公式、加法定理及由它派生出來的定理、正余弦定理這四組公式是三角變換的主要依據(jù)，必須熟練掌握，并能運用它們?nèi)ミM行求值、化簡和證明；有關(guān)測量的問題，有利于訓練理論與實際相結(jié)合，三角知識與平面幾何、立體幾何知識相結(jié)合，對此應會正確分析和正確計算。

解析幾何部分，坐標法以及直線和二次曲線的概念、方程、性質(zhì)是必須掌握的。具體地說，就是距離公式、定比分點要能熟練運用；求軌跡的方程、給方程畫曲線、利用點在曲線上的坐標滿足方程解決有關(guān)問題；直線方程的各種形式、二次曲線的標準方程及其中各種參數(shù)間的關(guān)系、曲線與直線間的位置關(guān)系，應該作為重點對待。

三

在復習的方法上，要勤于思考，要動腦筋。下面從讀書和作題兩個方面談談復習方法問題。

先說讀書。讀書的公式應該是：讀書—思考，就是要通過讀書掌握知識要點以后，還要在頭腦里對知識進行一系列的加工：

首先，要將知識進一步深化，努力抓住知識的本質(zhì)。例如，在學了字母表示數(shù)以后，應該認識到公式（a＋b）（a-b）＝

（此處內(nèi)容詳見原版面）這樣的題，至少應該想到可以解出sinθ、cosθ，把它們平方再相加，消去θ以后整理出求證的式子。（此題還可直接將已知兩式平方相加去做）。

其次，要把知識系統(tǒng)化。把知識組織在一定的系統(tǒng)中，更易于理解、記憶，也更便于應用。所以，讀書以后一定要把前后的知識進行對比、聯(lián)想，理出它們的來龍去脈和各種關(guān)系，把知識系統(tǒng)化。系統(tǒng)化的具體辦法是多種多樣的：可以依知識發(fā)展的層次建立系統(tǒng)，這類的例子最典型的就是三角中由加法定理派生出來的那一組公式；也可以按應用把知識進行歸納，如韋達定理的應用；此外，還可以用一種我們稱為“知識鏈”的方式把知識系統(tǒng)化，因為它很適合于在總復習中使用。如在復習判別式時，可以列出這樣的式子，把有關(guān)知識串起來：

…←→△=○有二相等實根←→完全平方←→真切←→…

這樣，就把知識由點串成了鏈，構(gòu)成了網(wǎng)。不難想象，誰的頭腦中這類知識鏈越多越長、知識網(wǎng)越大，那么他的解題能力就會越強。

再說做題。做題時應用心思考，有意識地總結(jié)方法、探索規(guī)律、積累經(jīng)驗。這是一種有心人的做法，會得到事半功倍的效果。具體來說：

首先，要抓題型。數(shù)學題浩如煙海，但又是可以分成類的，因此也是可以逐類掌握的。數(shù)學題的這種類，就是人們說的題型。以二次函數(shù)部分的題目為例，主要的可以歸納成四種題型：①由解析式去研究函數(shù)性質(zhì)。如，求二次函數(shù)的圖象的開口方向、對稱軸方程、頂點坐標、函數(shù)的增減情況以及何時函數(shù)為正（負）值……；②由函數(shù)的某些性質(zhì)、特點、條件確定函數(shù)的解析式。如，已知二次函數(shù)圖象的頂點為（2，－3），并且過點（0,1），求其解析式；③利用描點或平移畫出二次函數(shù)的圖象；④極值問題。在復習中，抓住它們，知識就不是一點一點地獲得，而是成片成塊地解決了，可以產(chǎn)生以少勝多的效果。

其次，要注意抓方法。復習中，一定要切實理解并會運用分析法、綜合法、比較法、數(shù)學歸納法等解證題目的基本方法。此外，還應通過做題后的思考，積累一些具有方法意義的經(jīng)驗。如，特殊化的方法，即把某些已知條件特殊化（如取特殊角或特殊值），再研究由此得出的結(jié)論，從而找到解題思路；又如，統(tǒng)一化的方法，就是以某種標準（底、指數(shù)、某字母、某一邊長、某一角度等）把所遇到的式子或問題進行整理，從而更容易發(fā)現(xiàn)問題中的關(guān)系。再有，針對每種題型，總結(jié)出所需用的方法和一般步驟，使今后解這種題時，有個基本的程序可遵循，也是十分必要的。如，確定函數(shù)解析式的方法主要是待定系數(shù)法，其主要程序是根據(jù)已知條件列出關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組，解出各系數(shù)，然后代入待定式即可，對于二次函數(shù)，設待定式時，如果已知函數(shù)的極值、拋物線的對稱軸、頂點，常設為y＝（此處內(nèi)容詳見原版面）。

第三，要抓規(guī)律。一個題目，僅做出解答，還不算完，應該回味咀嚼一番。除了要思考其題型和方法之外，還應該力爭從中看出一些具有規(guī)律性的東西。對于一組題目，做完以后則更應聯(lián)系起來思考，努力找出更有普遍意義的東西。以解“如果（此處內(nèi)容詳見原版面），求此等差數(shù)列”為例，解完以后可以做類似如下的思考：①在數(shù)學中的一個重要原則是幾個獨立條件決定幾個未知數(shù)，本題只明顯地給出了兩個已知條件，因此必須用心去尋找不明顯的隱條件（本題用“等差數(shù)列”幾個字表現(xiàn)出來）。從而有（此處內(nèi)容詳見原版面）由此取得經(jīng)驗，今后解題時，要注意“隱條件”的利用；①此題若先根據(jù)“等差數(shù)列”這一條件，將（此處內(nèi)容詳見原版面）。表示出來，也可以解決。由此想到很多等差數(shù)列的問題都可以統(tǒng)一到等差數(shù)列的兩個基本元素a和d去解決，這一條也可以做為經(jīng)驗積累下來。同時，這也是“統(tǒng)一化”方法的一次應用，通過它又可以加深對這一方法的體會。再如，積累解各種方程的經(jīng)驗應發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：超越的化成代數(shù)的，無理的化成有理的，分式的化成整式的，高次的化成低次的，多元的化成一元的。這類規(guī)律雖然籠統(tǒng)、抽象，但它們對解題卻具有指導意義。

以上通過對讀書和做題兩個方面談了如何抓基本知識和基本方法的復習。除此之外，復習中，還應隨時注意提高自己的計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力。同時，也要注意訓練自己具有一套敘述完整、步步有據(jù)、認真仔細等良好習慣。前幾年高考中，這些方面出現(xiàn)的錯誤和問題不少，教訓值得我們記取。