模糊數(shù)學(xué)

孫章　張念椿　馮之浚

飛速發(fā)展的現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，使學(xué)科既高度分化，又互相滲透；既高度綜合，又縱橫交叉，派生出許許多多的新學(xué)科。這些新學(xué)科，就象知識(shí)大廈上一扇扇透亮的新窗；又似茫茫學(xué)海中一條條新辟的航線。它吸引著廣大青年探索者們的無窮志趣。從本期開始，“自學(xué)之友”將陸續(xù)簡介這些知識(shí)，供您選擇設(shè)計(jì)自己、造福人類的主攻方向。一—編者

模糊數(shù)學(xué)，乍聽似乎不可思議。因?yàn)閿?shù)學(xué)的特點(diǎn)是精確，它怎么能同“模糊”連在一起呢？其實(shí)，模糊數(shù)學(xué)并非是“模糊的數(shù)學(xué)”，它真實(shí)的含義是：用數(shù)學(xué)方法來研究、處理模糊的事物。這是1965年誕生的一門新學(xué)科，十幾年來得到了迅速的發(fā)展。

從《伊索寓言》談起

在《伊索寓言》中有這樣一則故事。一次，伊索的主人酒醉后狂言，跟人打賭，發(fā)誓要喝干大海，并以他的全部財(cái)產(chǎn)和奴隸作賭注。次日醒來后，他懊悔莫及。但這一消息已轟動(dòng)全城，人們?cè)缭诤＿叺戎?。于是主人不得不苦苦求助聰明的伊索，伊索在講好條件后便給他出了個(gè)主意。主人聽后如獲至寶，急忙飛奔到海邊，對(duì)蜂擁在那里的人群大聲說道：“現(xiàn)在，我要再說一遍，我能喝干整個(gè)大海。可是如今千萬條江河匯入大海，海水里混雜了許多河水，如果有誰能把河水與海水分開，我就能把真正的大海喝干！”

伊索樸素地應(yīng)用了模糊語言學(xué)，幫助主人渡過了難關(guān)。因?yàn)?，“海水”是個(gè)模糊概念，我們雖然經(jīng)常使用這個(gè)詞，但給它下個(gè)定義，卻往往會(huì)漏洞百出。同樣，在“水果”和“蔬菜”之間，“春、夏、秋、冬”四季之間，也都沒有一條截然分明的界線。我們生活中還有許多模糊的說法，如明暗、深淺、冷暖、寬窄、快慢、濃淡、高矮等等。

模糊事物反映在人的思維中，就產(chǎn)生了模糊邏輯。在模糊邏輯中，判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，不僅可以用“是”（記作1）或“非”（記作0）來回答，還可以用介于0與1之間的小數(shù)來回答。所以，它是一種連續(xù)值邏輯。

模糊并非罪過

一般認(rèn)為“模糊”是個(gè)貶意詞，它的名聲的確也“壞”過。在生產(chǎn)力十分低下的原始社會(huì)，人們只能勉強(qiáng)維持生存，那時(shí)，用不著什么數(shù)學(xué)計(jì)算，是個(gè)混沌模糊的世界。但隨著生產(chǎn)力的不斷提高，產(chǎn)生了剩余產(chǎn)品和商品交換，于是，人們開始用手指頭、小石子計(jì)數(shù)，漸漸形成了自然數(shù)的概念。以自然數(shù)為起點(diǎn)，數(shù)學(xué)便開始了它的光輝歷程，終于贏得了“科學(xué)皇冠”的美名?？梢姡：鳛榫_的對(duì)立面，代表了落后的生產(chǎn)力，它有一段不光彩的歷史。但是，隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，為了進(jìn)一步提高自動(dòng)化程度和計(jì)算機(jī)的活性，人們開始研究人腦和電腦的異同。人腦善于判別與處理不精確的、非定量性的模糊事物，從中得出具有一定精度的結(jié)論。正因?yàn)槿四X具備這種能力，才使我們可辨認(rèn)潦草的筆跡，理解不完整的或不合常規(guī)的語句，即使在不確定的、多變的情況下，仍能作出正確的決策。被譽(yù)為“電子計(jì)算機(jī)之父”的馮·諾依曼說過，人腦是這樣一臺(tái)計(jì)算機(jī)，雖然它的精確度極低，只相當(dāng)于十進(jìn)制數(shù)字的二到三位，可是它的工作十分可靠，效率極高。譬如我們要判別面前走過來的是誰，只須將來人的高矮、胖瘦、走路姿勢(shì)等與大腦中儲(chǔ)存的

樣本進(jìn)行比較，就可得出足夠正確的結(jié)論?？墒?，要讓計(jì)算機(jī)來做這件事，那就得大動(dòng)干戈，不僅要測(cè)量來人的身高、體重、手臂擺動(dòng)角度、頻率、速度、加速度等一大批數(shù)據(jù)，而且非得精確到小數(shù)點(diǎn)后幾十位才肯罷休。這樣繁瑣，已使精確走向反面。這里充滿了活的辯證法：精確兮 ，模糊所伏；模糊兮，精確所依。只有人腦才能使兩者很好地統(tǒng)一起來，恰到好處。這種本領(lǐng)是電子計(jì)算機(jī)所望“人”莫及的。馮·諾依曼認(rèn)為，世界上還沒有一臺(tái)象人腦這樣的計(jì)算機(jī)。因此，模糊決不是一種罪過，恰恰相反，它是大自然對(duì)人類的一種恩賜。模糊方法始終在人腦中悄悄地起作用，推動(dòng)著人類社會(huì)向前發(fā)展。

于是，模糊數(shù)學(xué)誕生了。模糊數(shù)學(xué)著重解決兩個(gè)方面的問題：一是為復(fù)雜系統(tǒng)——尤其是那些經(jīng)典數(shù)學(xué)的禁區(qū)，如人文科學(xué)——提供新的數(shù)學(xué)工具；二是使計(jì)算機(jī)能效仿人腦對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行識(shí)別與判斷，提高自動(dòng)化水平。

模糊事物的數(shù)學(xué)描述一一模糊集合

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是集合論，模糊數(shù)學(xué)也建立在集合論的基礎(chǔ)上。美國學(xué)者查德1965年發(fā)表的模糊數(shù)學(xué)的第一篇論文，題目就是“模糊集合”。

不管按什么特征、依什么規(guī)律結(jié)合起來的事物的總體，都叫做集合。例如，“桌子上的東西”、“太陽系里的行星”、“車廂里的乘客”等，都可以構(gòu)成一個(gè)集合。構(gòu)成集合的個(gè)體叫做元素。在普通集合論中，一事物（元素）或者屬于某集合，或者不屬于某集合，兩者必居其一。就是說，這種集合的邊界是能夠明確劃分的，如“男同學(xué)”、“數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生”等，都是普通集合。然而，象“胖子”、“年輕人”、“高個(gè)子”這一類集合就具有完全不同的性質(zhì)，一個(gè)人是否屬于這一類集合，就無法作出明確的回答。這種邊界不清晰的集合就是模糊集合，人們稱它為“軟集合”；與此相對(duì)應(yīng)，邊界清晰的普通集合就稱硬集合。

既然在模糊集合中，一個(gè)元素是否屬于某集合，不能作絕對(duì)肯定或否定的回答，我們就要用一個(gè)數(shù)來表示它屬于某集合的“程度”。前面我們?cè)选笆恰庇涀?，“非”記作0，因此，從屬程度就可以在0到1之間連續(xù)取值。從屬程度是模糊數(shù)學(xué)中最基本、最活躍的要素。所謂模糊集合的運(yùn)算，不是一般的數(shù)字運(yùn)算，而是對(duì)在0與1之間取值的從屬程度，進(jìn)行特殊的模糊運(yùn)算。

例：其一小組甲、乙、丙、丁四人屬于“胖子”這一模糊集合的從屬程度，分別為0．1、0．5、0.7、

1，這表示乙為“半胖”，只有丁才是真正的胖子。這一模糊集合可表示為：｛胖子｝＝0．1／甲+0．5／乙+0.7／丙+1／丁。

式中借用加號(hào)來表示并列，并無相加之意；每項(xiàng)分式的分子表示從屬程度，分母表示元素的名稱。試與同一范圍內(nèi)的普通集合相比： ｛男生｝＝0／甲+1／乙+1／丙+1／??； ｛女生｝＝1／甲+0／乙+0／丙+0／丁。

可見四人中只有甲為女生。從中不難看出，普通集合只是模糊集合的特例（從屬程度等于0或1）；而模糊集合是普通集合的自然拓廣，模糊集合是更高、更一般的集合。

在模糊數(shù)學(xué)中，確定從屬程度是一種藝術(shù)。它可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)規(guī)律給出，也可以由某個(gè)權(quán)威確定，因此，帶有主觀性和相對(duì)性。例如：查德給出的模糊集合“老人”的從屬程度為：

(此處略,詳見原版面)

式中y表示年齡。當(dāng)y≤50（歲）時(shí)，其從屬程度為0，所以都不屬于“老人”集合；當(dāng)y＝55（歲）時(shí)，代入上式可得0．5，即55歲的人為“半老”；y＝60（歲）時(shí)，其從屬程度為0．8，即60歲的人為“0．8老”，……此類推。

模糊數(shù)學(xué)前途無量

由于當(dāng)代的科學(xué)技術(shù)既高度分化又高度結(jié)合，龐大的科學(xué)體系已成為多層次多序列的立體結(jié)構(gòu)。科學(xué)學(xué)的研究表明，現(xiàn)代科學(xué)已從對(duì)事物的研究發(fā)展到對(duì)系統(tǒng)的研究，從單一數(shù)值的研究發(fā)展到多種數(shù)值的研究，從靜態(tài)的研究發(fā)展到動(dòng)態(tài)的研究，從縱向的研究發(fā)展到橫向的研究。模糊數(shù)學(xué)所具備的種種特點(diǎn)，決定了它必將成為研究復(fù)雜系統(tǒng)的一種有力工具。它已在經(jīng)典數(shù)學(xué)與充滿了模糊性的現(xiàn)實(shí)世界之間，架起了一座橋梁。目前，模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用已涉及聚類分析、圖象識(shí)別、工廠控制、機(jī)械故障診斷、系統(tǒng)評(píng)價(jià)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、信息檢索、機(jī)器人、人工智能、邏輯等許多方面。如在環(huán)境保護(hù)中對(duì)環(huán)境單元按污染程度進(jìn)行分類，在良種培育中，對(duì)親本作物分類。這恰似：

“一線陽光穿云出，愈見姣妍。

人間的萬象真理，愈求愈模糊；

——模糊中偶然見著一點(diǎn)光明，真愈覺姣妍?！?/p>

周總理青年時(shí)代追求光明的這首詩所闡明的哲理，不也是對(duì)模糊數(shù)學(xué)的最好注解！