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    圍繞主題漸次生長:數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)追求

    2023-01-13 19:03:07姜國生
    關(guān)鍵詞:習(xí)題課拋物線變式

    姜國生

    二次函數(shù)是九年級的重點(diǎn)內(nèi)容,新授課之后往往要安排必要的習(xí)題課進(jìn)行鞏固訓(xùn)練,如果教師選擇的習(xí)題比較零散,則不利于學(xué)生掌握同一類問題。因此,筆者圍繞二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)問題研發(fā)了一節(jié)習(xí)題課,在教研組內(nèi)執(zhí)教公開課后,取得較好的課堂效果,也獲得組內(nèi)同行的好評。下面,筆者整理本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì),并給出教學(xué)立意的闡釋,供同行們研討。

    一、教學(xué)設(shè)計(jì)

    1.基礎(chǔ)熱身

    例1 如圖1,已知拋物線y=x2。

    (1)在圖1中,求拋物線y=x2與直線y=1的兩個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo);

    (2)在圖1中,求拋物線y=x2與直線y=4的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離;

    (3)在圖2中,求拋物線y=(x-1)2與直線y=4的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離;

    (4)在圖3中,求拋物線y=-(x+2)2+2與直線y=-2的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離。

    [設(shè)計(jì)意圖]通過上述4個(gè)題目,學(xué)生對二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)圖像的形狀特征更加熟悉,為后續(xù)的變式應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

    變式1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=x2+mx+n的對稱軸為直線x=2,且經(jīng)過點(diǎn)A(0,3)。將這個(gè)二次函數(shù)的圖像沿y軸向下平移,請問:當(dāng)向下平移幾個(gè)單位時(shí),所得到的新的函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為4。

    [設(shè)計(jì)意圖]有些學(xué)生先寫出二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x2-4x+3。教師要引導(dǎo)學(xué)生寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x-2)2-1,讓學(xué)生結(jié)合例1積累的圖像特征,得到新的函數(shù)圖像與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離。

    2.拾級而上

    例2 如圖4,已知正方形OBCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)。試分析拋物線y=(x-h)2(h為常數(shù))與正方形OBCD的邊的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),并指出相應(yīng)的h的取值范圍。

    [設(shè)計(jì)意圖]教師通過追問的方式,引導(dǎo)學(xué)生自主梳理不同的臨界情形對應(yīng)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),讓學(xué)生明白本題的本質(zhì)就是拋物線y=(x-h)2(h為常數(shù))的頂點(diǎn)在x軸上平移。

    變式2 已知M(x1,y1)、N(x1,y1)為拋物線y=ax2(a≠0)上任意兩點(diǎn),其中0≤x1<x2。若對于x2-x1=1,都有|y1-y2|≥1,則a的取值范圍為__________。

    [設(shè)計(jì)意圖]變式2主要是針對例2的變式訓(xùn)練與學(xué)情反饋。首先,教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用“以形助數(shù)”進(jìn)行分析,構(gòu)造出圖5。然后引導(dǎo)學(xué)生分情況討論,其中包括當(dāng)a>0時(shí),對于x2-x1=1,都有|y1-y2|≥1,所以a|x12-x22|≥1,解得a≥1。同理,當(dāng)a<0時(shí),解得a≤-1。最后得出a≥1或a≤-1。

    3.拓展提升

    例3 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=x2-2mx+m2-1。直線y=-x+b與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,過點(diǎn)B作垂直于y軸的直線l交拋物線于點(diǎn)P、Q,若△OAP和△OAQ中有且僅有一個(gè)為鈍角三角形,結(jié)合圖像,求m的取值范圍。

    [設(shè)計(jì)意圖]教師引導(dǎo)學(xué)生將拋物線表達(dá)式改寫成頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x-m)2-1,讓學(xué)生能看出該拋物線的平移規(guī)律,求出一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x+3。此時(shí)再構(gòu)造圖6、圖7這兩種臨界情形,教師鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合圖形自主分析講解。

    變式3 如圖8,已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=-x2-2x+n、y2=a(x-3)2-n+1(a>0)滿足對于任意的實(shí)數(shù)x,都有y1≤1+2n≤y2成立。直線y=kx-k+1(k>0)與函數(shù)y1的圖像交于A、B兩點(diǎn),與函數(shù)y2的圖像交于C、D兩點(diǎn)。若對于任意的k>0,都有AB≤CD,結(jié)合函數(shù)圖像,直接寫出a的取值范圍。

    [設(shè)計(jì)意圖]學(xué)生可以求出n的值為-1,知道直線y=kx-k+1(k>0)經(jīng)過定點(diǎn)(1,1)。解決本題的關(guān)鍵是教師要啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩條拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M(1,1)中心對稱,引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖像觀察,最終求出a的取值范圍。

    4.回顧小結(jié)

    小結(jié)問題1:本節(jié)課繼續(xù)研究的是二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)(比如y=x2),你對這類函數(shù)的圖像特征有哪些新的認(rèn)識?

    小結(jié)問題2:本節(jié)課的變式問題與開課時(shí)回顧的二次函數(shù)(比如y=x2)的圖像特征有什么緊密的聯(lián)系?可舉例交流。

    [設(shè)計(jì)意圖]通過課后的小結(jié)問題,教師帶領(lǐng)學(xué)生課后回顧和反思,一方面回顧本節(jié)課所學(xué),另一方面積累本節(jié)課教學(xué)中的解題經(jīng)驗(yàn)和策略。

    二、教學(xué)反思

    1.聚焦核心知識,精心選取習(xí)題

    在一些重要的章節(jié)學(xué)習(xí)之后,教師會(huì)安排幾個(gè)課時(shí)的習(xí)題課教學(xué),這對于鞏固新知是非常必要的。教師如果隨意選取習(xí)題,缺少明確的主線或主題,則難以取得良好的教學(xué)效果,往往會(huì)出現(xiàn)“練過、講過,學(xué)生還是出錯(cuò)”的情形。筆者認(rèn)為,安排習(xí)題課首先要明確教學(xué)目標(biāo),找出教學(xué)主線,圍繞教學(xué)主線精選習(xí)題。這樣一節(jié)課下來,學(xué)生對這一類問題及變式題就能有著較為全面的理解,學(xué)習(xí)效果也能顯著提升。

    2.習(xí)題課要加強(qiáng)前后教學(xué)環(huán)節(jié)的關(guān)聯(lián)

    為了防止習(xí)題課走偏成“題海戰(zhàn)術(shù)課”,筆者將本節(jié)課習(xí)題進(jìn)行大致歸類,設(shè)計(jì)成3~4個(gè)題組,每個(gè)題組是一個(gè)教學(xué)活動(dòng)(或教學(xué)環(huán)節(jié)),按由易到難的順序展開教學(xué)。每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)最好有明顯的關(guān)聯(lián)或遞進(jìn)關(guān)系。例如,“基礎(chǔ)熱身”主要是帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)的圖像特征,而后續(xù)的“拾級而上”“拓展提升”這兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)分別與第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)關(guān)聯(lián)和呼應(yīng)。當(dāng)學(xué)生面對這些變式問題沒有思路時(shí),可以“退回”到第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中,重新獲得一些思路和啟示后再挑戰(zhàn)難題,這也是一種“以退為進(jìn)”的解題策略。

    3.精心預(yù)設(shè)小結(jié)問題,引導(dǎo)學(xué)生回顧反思

    筆者發(fā)現(xiàn),很多習(xí)題課教學(xué)的最后都沒有課堂小結(jié)的時(shí)間。著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說過:“習(xí)題課教學(xué)環(huán)節(jié)能促進(jìn)學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)的主題、經(jīng)典圖形、重要性質(zhì)有一個(gè)重新審視、積累經(jīng)驗(yàn)的作用?!比绫疚闹械男〗Y(jié)問題一樣,教師可以圍繞本節(jié)課所學(xué),預(yù)設(shè)幾個(gè)有針對性的小結(jié)問題,然后讓學(xué)生在這些小結(jié)問題的引領(lǐng)之下學(xué)會(huì)回顧反思,促進(jìn)經(jīng)驗(yàn)分享和知識積累;還可以讓學(xué)生課后繼續(xù)圍繞本節(jié)課訓(xùn)練的主線,把曾經(jīng)練習(xí)過的同類習(xí)題收集、整理在一起,讓學(xué)生以解題隨筆或數(shù)學(xué)寫作的方式梳理成文,在潛移默化中提升解題能力。

    (作者單位:江蘇省海安市李堡中學(xué))

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